L'encyclopédie philosophique

Publié en janvier 2018

1. Qu’est-ce qu’un syllogisme ?

En logique, on appelle « syllogisme » un raisonnement tout à fait élémentaire qui se présente comme un enchaînement de trois propositions entretenant certains rapports de forme. Voici, le plus célèbre exemple de syllogisme :

Tout homme est mortel.

Or, Socrate est un homme.

Donc, Socrate est mortel.

Une nomenclature traditionnelle permet de désigner chacune des parties d’un syllogisme. Les deux premières propositions, sont appelées les prémisses du syllogisme. Elles sont formées à partir de trois termes (ici « homme », « mortel » et « Socrate »). Un de ces termes est commun aux deux prémisses ; il s’agit du moyen terme (ici « homme »). La dernière proposition est la conclusion du syllogisme. Celle-ci reprend les deux termes restant des prémisses lorsque se trouve éliminé le moyen terme. On nomme ces deux termes présents à la fois dans les prémisses et la conclusion les termes extrêmes (ici « Socrate » et « mortel »). Enfin, les mots « or » et « donc » ne font pas partie des propositions du syllogisme, mais indiquent que celui qui admet conjointement les prémisses est contraint d’admettre aussi la conclusion.

Afin de comprendre ce qu’est un syllogisme et quel est son intérêt, il faut d’emblée souligner qu’il n’a pas pour but d’affirmer la vérité des propositions qu’il contient. Le syllogisme indique que le groupe de ses deux prémisses entretient avec sa conclusion une certaine relation logique : la relation de conséquence. En termes plus clairs, le syllogisme n’affirme pas que ses prémisses sont vraies, il n’affirme pas non plus que sa conclusion l’est. Ce qu’il exprime est conditionnel, à savoir que si les prémisses sont vraies, alors la conclusion doit l’être elle aussi. Ainsi le syllogisme constitue-t-il une forme élémentaire de raisonnement contraignant, exprimant qu’admettre les prémisses force à admettre aussi la conclusion.

Aristote est considéré comme le premier logicien de l’histoire. C’est lui qui introduit pour la première fois la notion de syllogisme, d’abord dans les Topiques, puis dans les Premiers Analytiques. Ce faisant, il est le premier à s’appuyer sur un des principes fondateurs de la logique : le principe de forme. Selon ce principe, la force contraignante d’un syllogisme ne relève pas de son contenu – à savoir, dans notre exemple, qu’il est question de Socrate, de son humanité et de la finitude de son existence – mais de sa forme. Ce qui fait que notre syllogisme est contraignant est commun à tout raisonnement de la même forme, c’est-à-dire ici, tout raisonnement respectant le schéma suivant :

Tout A est B. (première prémisse)

Or, c est un A. (seconde prémisse)

Donc, c est B. (conclusion)

Il va de soi qu’en distribuant de différentes manières trois termes dans trois propositions on n’obtient pas toujours une forme contraignante. Aristote réservait le terme de « syllogisme » aux différents cas contraignants ou, comme on dirait aujourd’hui aux cas valides.

Pour montrer qu’un certain enchaînement ne constitue pas un syllogisme (qu’il n’est pas contraignant), Aristote s’appuyait sur une méthode déjà bien connue avant lui : la méthode du contre-exemple. Considérons l’enchaînement suivant :

Aucun citoyen n’est un esclave.

Tous les esclaves sont asservis.

Aucun citoyen n’est asservi.

Pour montrer que cet enchaînement n’est pas contraignant (ou valide) et donc pour montrer qu’il ne peut pas servir à former un syllogisme, Aristote propose de remplacer, dans la même forme, les termes présents par d’autres termes qu’il va choisir de telle façon que les deux premières propositions soient manifestement vraies et la conclusion manifestement fausse. Par exemple, en prenant les termes « cheval », « chat » et « quadrupède », on obtient l’enchaînement suivant :

Aucun cheval n’est un chat. (manifestement vrai)

Tous les chats sont quadrupèdes. (manifestement vrai)

Aucun cheval n’est quadrupède. (manifestement faux)

Cette substitution montre que l’enchaînement dont nous étions partis n’est pas contraignant. Mais, en établissant qu’il est possible, en conservant la forme, de passer de prémisses vraies à conclusion fausse, le contre-exemple montre plus largement qu’aucun enchaînement de la forme suivante n’est contraignant :

Aucun A n’est B.

Tous les B sont C.

Aucun A n’est C.

Aucun enchaînement de cette forme ne peut donc constituer un syllogisme. Cette méthode est d’une importance cruciale. Tout d’abord, elle s’appuie essentiellement sur le principe de forme (ce qui fait le caractère contraignant d’un enchaînement, c’est sa forme et non son contenu). Mais surtout cette méthode du contre-exemple ouvre la possibilité de disposer aussi d’un critère pour caractériser ce qui intéresse en premier lieu Aristote : un critère positif pour déterminer quels sont les enchaînements contraignants, ceux qu’il nomme des syllogismes. En effet, on peut alors considérer qu’un enchaînement est bien contraignant lorsqu’il n’existe aucune possibilité d’en construire un contre-exemple. On a affaire à un syllogisme lorsqu’il est impossible, en faisant varier les termes et en laissant la forme inchangée, d’obtenir un cas avec des prémisses vraies et une conclusion fausse. Voyons par exemple, l’enchaînement suivant :

Certains logiciens ne sont pas sérieux

Tout logicien est philosophe

Certains philosophes ne sont pas sérieux

Pour montrer que c’est un syllogisme (et donc que la conclusion suit des prémisses de façon contraignante), il faudrait montrer qu’aucun enchaînement de la forme suivante ne comprend 2 prémisses vraies et une conclusion fausse :

Certains A ne sont pas B.

Tout A est C.

Certains B ne sont pas C.

L’impossibilité du contre-exemple est un bon critère théorique du syllogisme (ou du raisonnement contraignant), mais on doit reconnaitre qu’il présente deux difficultés dès lors qu’il va s’agir de l’appliquer. Pour montrer qu’un enchaînement n’est pas un syllogisme, il suffisait de trouver un contre-exemple. Mais pour appliquer le critère positif du syllogisme, il faudra désormais que l’on montre qu’il est impossible de trouver un contre-exemple. Le problème est beaucoup plus épineux, car pour montrer cette impossibilité, il faudrait être capable de vérifier qu’aucune des innombrables variations de termes dans la même forme ne conduit à un cas avec prémisses vraies et conclusion fausse. De plus, même si nous étions capables de balayer toutes les variations de termes, il resterait que nous ne sommes pas toujours capables de savoir si les propositions obtenues dans l’enchaînement sont vraies ou fausses. En effet, pour savoir si une variation des termes constitue un contre-exemple d’un certain enchaînement, il faut aussi connaitre les valeurs de vérité des propositions obtenues. Il s’agit là de deux problèmes dit épistémiques : on ne peut ni connaitre toutes les possibilités de variations, ni savoir pour chacune des variations si elle constitue ou non un contre-exemple. Il semble donc à première vue que nous soyons incapables de savoir qu’il n’existe aucun contre-exemple à un enchaînement.

2. La syllogistique

Si Aristote mérite le qualificatif de premier logicien, c’est en particulier parce qu’il est le premier à avoir donné une solution à ce problème. Sa solution s’appuie d’abord sur une idée très générale, qui marque son ambition de couvrir l’ensemble de tous les raisonnements contraignants. Aristote soutient que, dans tous les cas où une conclusion s’ensuit de façon contraignante d’un ensemble de prémisses, il doit exister un cheminement pas à pas allant des prémisses à la conclusion, un cheminement dont chaque pas soit constitué d’un raisonnement si simple que son caractère contraignant soit absolument évident. L’idée est donc que tout raisonnement concluant doit pouvoir s’analyser en une chaîne de raisonnements concluants élémentaires et évidents. Pour Aristote les syllogismes sont précisément ces pas élémentaires et évidents. Il étudie en détail cette forme spécifique, car elle constitue pour lui la forme minimale de raisonnement contraignant. Son étude le conduit à élaborer le premier système de logique formelle : la syllogistique. Plus exactement, le système qu’il élabore dans les Premiers Analytiques est celui obtenu lorsque l’on se restreint à faire figurer comme prémisses et conclusion des syllogismes uniquement une sorte particulière d’énoncés, ceux que l’on nomme les propositions catégoriques.

Pour Aristote, toute proposition est soit vraie, soit fausse et doit pour cela relier, soit d’une manière affirmative, soit d’une manière négative, un terme jouant le rôle de sujet et un terme jouant le rôle de prédicat. Par exemple, en prenant pour sujet « Socrate » (un terme singulier) et pour prédicat « philosophe » (un terme général), on peut former les deux propositions suivantes, dites singulières :

Socrate est philosophe (singulière affirmative)

Socrate n’est pas philosophe (singulière négative)

Ces deux propositions forment des contradictoires. Comme l’une rejette exactement ce que l’autre exprime, nécessairement l’une est vraie et l’autre est fausse, et ceci vaut quels que soient le terme singulier choisi comme sujet et le terme général pris comme prédicat.

Cependant, pour produire des raisonnements, on ne peut se contenter de combiner des propositions singulières. Aristote élargit ainsi sa notion de proposition en prenant en compte les cas où le sujet est lui aussi un terme commun ou général (par exemple « homme »). Dans ce cas, Aristote précise qu’il convient d’indiquer si la proposition dit quelque chose qui porte sur la totalité du sujet (sur tout homme) ou qui porte sur une partie seulement du sujet (sur quelque homme). En croisant la première différence dite de qualité (affirmative / négative) avec la seconde différence dite de quantité (universelle / particulière), il obtient les quatre formes des propositions dites catégoriques :

A : Tout S est P                           (Universelle affirmative)(Tout homme est philosophe)

E : Nul S n’est P                          (Universelle négative)(Nul homme n’est philosophe)

I : Quelque S est P                      (Particulière affirmative)(Quelque homme est philosophe)

O : Quelque S n’est pas P          (Particulière négative)(Quelque homme n’est pas philosophe)

Depuis le Moyen-Age, on désigne ces quatre formes par les lettres mnémotechniques que nous leur avons associées ici (A et I viennent des deux premières voyelles du latin affirmo, E et O des voyelles de nego). De plus, les traités de logique médiévaux résument dans un diagramme appelé « carré des oppositions » les relations logiques qu’entretiennent les quatre propositions catégoriques que l’on peut former avec un même sujet S et un même prédicat P :

Carré des oppositions

Pour obtenir des contradictoires (nécessairement l’une est vraie et l’autre fausse), Aristote montre qu’il faut non seulement changer la qualité (affirmative / négative), mais aussi la quantité (universelle / particulière). Dans le carré des oppositions, les contradictoires sont donc dans les diagonales : A/O et E/I. Quant au couple A/E, il forme des contraires (l’une des deux au moins est fausse) ; le couple I/O forme des subcontraires (l’une des deux au moins est vraie) ; enfin les couples A/I et E/O sont dits subalternes (si la première est vraie, la seconde aussi).

La syllogistique est le système qui traite des syllogismes dont les prémisses et la conclusion sont toutes des propositions catégoriques. Afin de déterminer l’ensemble complet des formes que peuvent revêtir ces syllogismes, Aristote procède de façon combinatoire. Puisque tout syllogisme comprend deux prémisses construites avec trois termes, il n’existe que trois possibilités de placer le moyen terme dans les deux prémisses. Aristote nomme ces trois possibilités figures. En prenant juste des universelles affirmatives, voici comment se présentent ces trois possibilités de poser les deux prémisses :

Première figure (lorsque le moyen terme B est une fois sujet, une fois prédicat)

Tout B est A

Tout C est B

Deuxième figure (lorsque le moyen terme B est deux fois prédicat)

Tout A est B

Tout C est B

Troisième figure (lorsque le moyen terme B est deux fois sujet)

Tout B est A

Tout B est C

Bien entendu, dans chacune des figures, on peut pour l’une et l’autre des prémisses faire varier la sorte de proposition. Par exemple, tout en restant dans la première figure, on peut aussi bien poser les couples de prémisses suivants :

Nul B n’est A     Tout B est A          Quelque B est A                 Quelque B n’est pas A

Tout C est B      Quelque C est B    Quelque C n’est pas B       Nul C n’est B etc

Comme il y a quatre sortes de propositions catégoriques (A, E, I, O), on peut dans chaque figure poser un couple de prémisses de 16 façons différentes. En tout, il y a donc 48 (3x16) façons de poser un couple de prémisses ou, comme on le dit traditionnellement, 48 modes. Aristote va déterminer pour chacun des modes si, oui ou non, une conclusion liant les termes extrêmes (A et C) s’ensuit nécessairement des prémisses ; quand c’est le cas le mode est concluant et donne lieu à un syllogisme, sinon, il est déclaré non concluant.

Aristote détermine que 19 des 48 modes sont concluants. Certains de ces modes donnant lieu non pas à un, mais à deux syllogismes (pour 5 modes, deux conclusions peuvent en effet être tirées des mêmes prémisses), cela signifie qu’il existe 24 formes différentes de syllogismes.

Dans les Premiers Analytiques, Aristote ne se contente pas de présenter la liste de ces formes. Il va également établir que ce résultat est correct : pour chaque mode, il montre soit qu’il s’agit d’un mode non concluant – par la méthode du contre-exemple – soit que le mode conduit bien de façon contraignante à une certaine conclusion. Rappelons que l’idée même d’étudier les syllogismes consiste à dégager les formes minimales et évidentes de raisonnements contraignants. Aristote aurait donc pu se contenter d’exhiber ces formes, en les justifiant par leur caractère évident, sans en démontrer le caractère contraignant. Il pousse cependant l’étude plus loin et va montrer que l’ensemble des syllogismes repose sur un petit nombre d’entre eux qu’il désigne comme parfaits, c’est-à-dire ceux dont il estime que l’évidence est immédiate et ne nécessite rien d’autre pour être manifeste.

a. Syllogismes parfaits et imparfaits

Aristote affirme que sont parfaits (évidents d’une manière immédiate) les syllogismes de quatre des modes de la première figure, ceux que les médiévaux ont associés aux noms mnémotechniques « Barbara », « Celarent », « Darii » et « Ferio » (les voyelles de ces noms indiquent les sortes de propositions que l’on trouve respectivement en première prémisse, seconde prémisse et conclusion). Voici ces quatre formes, associées chaque fois à un exemple concret de syllogisme :

Barbara :                                                                 Celarent :

Tout B est A.                                                            Aucun B n’est A.

Or, tout C est B.                                                      Or, tout C est B.

Donc tout C est A.                                                   Donc aucun C n’est A.

Tout homme est faillible.                                      Aucun homme n’est un crabe.

Or, tout monarque est un homme.                     Or, tout philosophe est un homme.

Donc tout monarque est faillible.                       Donc aucun philosophe n’est un crabe.

Darii :                                                                       Ferio :

Tout B est A.                                                           Aucune B n’est A.

Or, quelque C est B.                                              Or, quelque C est B.

Donc quelque C est A.                                          Donc quelque C n’est pas A.

Tout logicien est farfelu.                                      Aucune grenouille n’est polyglotte.

Or, quelque philosophe est logicien.                 Or, quelque prince est une grenouille.

Donc quelque philosophe est farfelu.               Donc quelque prince n’est pas polyglotte.

Tous les autres modes concluants sont imparfaits et demandent donc une justification, qui consiste à les réduire aux syllogismes parfaits. Pour réduire un syllogisme imparfait Aristote construit une déduction partant de ses prémisses et menant à sa conclusion. Dans cette déduction ne sont utilisés que des syllogismes parfaits, ainsi que deux procédures d’inférence : la conversion et la réduction à l’impossible.

b. La conversion

La conversion est l’outil principal de réduction. Elle est constituée de trois règles permettant d’inférer une proposition à partir d’une autre par inversion du sujet et du prédicat. Voici ces règles, accompagnées chaque fois de l’exemple donné par Aristote :

De Nul A n’est B on infère Nul B n’est A                              (conversion de E)

Si aucun plaisir n’est un bien, aucun bien ne sera non plus un plaisir.

De Quelque A est B on infère Quelque B est A                    (conversion de I)

Si quelque plaisir est un bien, il est vrai aussi que quelque bien est un plaisir.

De Tout A est B on infère Quelque B est A                           (conversion de A)

Si tout plaisir est un bien, il est vrai aussi que quelque bien est un plaisir.

Les conversions permettent de réduire presque tous les syllogismes imparfaits aux parfaits. Voyons par exemple comment se présente la réduction du mode imparfait nommé Cesare :

Cesare :                                            Exemple :

Nul A n’est B                                  Aucun crabe n’est un homme

Or tout C est B                               Or tout philosophe est un homme

Donc nul C n’est A                        Donc aucun philosophe n’est un crabe

Par conversion de la première prémisse, on retombe sur la forme parfaite de Celarent. Pour passer des prémisses à la conclusion, on peut donc procéder par la déduction suivante, qui se termine par l’application de Celarent aux lignes 3 et 4 :

1. Nul A n’est B                   Prémisse

2. Tout C est B                   Prémisse

3. Nul B n’est A                 ligne 1, conversion de E

4. Tout C est B                   ligne 2, répétition

5. Nul C n’est A                 lignes 3 et 4, Celarent

De fait, seuls deux modes résistent à cette méthode de réduction: Baroco et Bocardo. Pour ceux-ci, Aristote doit recourir à une autre procédure : la réduction à l’impossible.

c. La réduction à l’impossible

L’idée de réduction à l’impossible consiste à raisonner en avançant, à titre d’hypothèse, la contradictoire de la conclusion recherchée et à montrer que l’ajout de cette hypothèse conduit à une situation impossible. Voyons, par exemple, comment appliquer cette méthode au mode Bocardo.

Bocardo :                                         Exemple :

Quelque B n’est pas A                  Quelque logicien n’est pas sérieux

Or tout B est C                               Or tout logicien est philosophe

Donc quelque C n’est pas A        Donc quelque philosophe n’est pas sérieux

Pour obtenir la conclusion recherchée (Quelque C n’est pas A), on commence par ajouter aux prémisses la contradictoire de cette conclusion (Tout C est A).

1. Quelque B n’est pas A      Prémisse

2. Tout B est C                       Prémisse

3. Tout C est A                      hypothèse (contradictoire de la conclusion recherchée)

Ensuite, on poursuit la déduction en appliquant les outils à disposition, par exemple un syllogisme parfait. Ici les lignes 2 et 3 permettent d’appliquer Barbara :

4. Tout B est A                         2, 3, Barbara

5. Quelque B n’est pas A        1, Répétition

6. Quelque C n’est pas A        4, 5 contradictoires, rejet de l’hypothèse, ligne 3

Après avoir inféré la ligne 4, il suffit de répéter la ligne 1 afin de faire apparaitre une impossibilité, à savoir des lignes contradictoires (ici, les lignes 4 et 5). L’ajout de l’hypothèse conduisant à une impossibilité, on est alors amené à la rejeter. Or, rejeter l’hypothèse consiste à avancer sa contradictoire, ce qui est fait ici en ligne 6. De cette manière, on obtient la conclusion recherchée et le mode Bocardo est ainsi ramené au mode parfait Barbara.

3. Réflexions systématiques

En ramenant tous les modes concluants aux modes parfaits et en réfutant tous les modes non concluants par la méthode du contre-exemple, tout l’espace combinatoire des figures et des modes se trouve investigué. Pourtant Aristote accompagne encore son étude d’une réflexion sur l’économie et la portée de son système, c’est-à-dire sur sa capacité à rendre compte de tous les raisonnements contraignants.

a. Une économie de moyens

Comme nous l’avons vu, Aristote montre que l’ensemble des syllogismes repose sur une base qui comprend les quatre syllogismes parfaits, les trois conversions et la réduction à l’impossible. Cependant, il montre encore que cette base peut être davantage restreinte. D’abord, il prouve que seule la conversion de E est nécessaire car on peut en dériver les deux autres conversions par une réduction à l’impossible. Ensuite, il montre encore que les syllogismes Darii et Ferio, bien que parfaits, peuvent être ramenés, par réduction à l’impossible puis par conversion, à Celarent. Il suit de là que l’ensemble des syllogismes repose sur une base extrêmement économique contenant uniquement les deux syllogismes parfaits Barbara et Celarent, la conversion de E et la réduction à l’impossible.

b. Portée et limitations de la syllogistique

Aristote ne se contente pas de faire reposer la syllogistique sur une base aussi économique que possible, réduisant ainsi au minimum le recours à l’évidence dans la constitution de sa logique. Il a également tenté de montrer que tout raisonnement contraignant peut être ramené à une suite de syllogismes. Malheureusement, son résultat ne serait correct qu’avec plusieurs restrictions importantes. Tout d’abord, il faudrait que tout raisonnement contraignant puisse être traduit en propositions catégoriques. Il faudrait aussi admettre avec Aristote qu’il ne peut y avoir de raisonnement contraignant que lorsque les prémisses relient comme par une chaîne de moyens termes le sujet et le prédicat de la conclusion. Les modernes ont montré que ces deux idées ne sont pas universellement valables et que la syllogistique reste de ce point de vue limitée.

En concevant avec la syllogistique une théorie rigoureuse du raisonnement contraignant, Aristote pensait s’être doté de l’instrument primordial permettant les démonstrations nécessaires au développement de la science. Selon lui, une démonstration est un raisonnement contraignant producteur de connaissance, c’est-à-dire une déduction dont les prémisses sont vraies, préalablement connues et qui fournissent les causes de la conclusion. Cette conception reste cependant soumise aux limitations de la syllogistique. En tentant de montrer sous quelles conditions une conclusion s’ensuit nécessairement de prémisses données, Aristote fait une découverte cruciale qui ouvre le large territoire de la logique formelle : la déduction est neutre relativement à la vérité et à notre connaissance des prémisses. En effet, les mêmes procédés restent à l’œuvre qu’il s’agisse de tirer des conséquences de prémisses vraies, de prémisses fausses, ou de prémisses que nous ne faisons que supposer sans en connaitre la valeur de vérité. Ce qui est déterminant pour avoir un raisonnement contraignant est qu’il soit impossible que les prémisses soient vraies et la conclusion fausse. Aristote est le premier à montrer que cette caractéristique ne dépend pas des contenus véhiculés par le raisonnement, mais uniquement des rapports entre les formes des propositions concernées, ces formes qu’il exprime en introduisant des lettres en lieu et place des termes concrets. Comme le montreront les fondateurs de la logique contemporaine (par exemple, Gottlob Frege ou Charles Sanders Peirce), son analyse de la forme logique des propositions restait trop dépendante du langage ordinaire pour qu’il ait pu tirer tous les bénéfices de ses découvertes. Cela n’enlève cependant rien à la valeur intrinsèque de ces découvertes, qui ont nourri jusqu’à aujourd’hui les avancées de la logique formelle.

Bibliographie:

Aristote. Premiers Analytiques, traduction, présentation et commentaire par M. Crubellier, Paris : Flammarion (GF), 2014.

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Gourinat, J.-B. (2002). « Aristote et la forme démonstrative de la science », dans Wagner P. (éd). Les philosophes et la science, Paris : Gallimard (Folio Essais), 581-623.

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Smith, R. (2000). ‘Aristotle’s Logic’, Stanford Encyclopedia of Philosophy

 

Pierre Joray

Université de Rennes

pierre.joray@univ-rennes1.fr