L'encyclopédie philosophique

Publié en septembre 2017

Résumé

Henri Poincaré (1854-1912), mathématicien, physicien, astronome, philosophe est probablement l’un des derniers savants universels. Son œuvre, sur de nombreux thèmes, se caractérise par une approche originale qu’il fit des problèmes scientifiques de son temps.

Sa position philosophique peut se résumer en une thèse triple : 1° La liberté créatrice du scientifique n’est pas arbitraire mais « guidée par l’expérience » (Poincaré 1902, p. 24). 2° La science nous fait connaître quelque chose de la réalité : « les rapports entre les choses ; en dehors de ces rapports il n’y a pas de réalité connaissable » (Poincaré 1902, p. 25). 3° La reconstruction logique de la genèse de la science « est indispensable pour l’intelligence complète de la science elle-même » (Poincaré 1902, p. 153).

Après quelques considérations biographiques (section 1), nous proposerons d’expliciter les traits généraux et l’actualité de la philosophie de Poincaré (section 2), en passant ensuite à l’exposé de sa conception originale du caractère conventionnel de la géométrie (section 3) et son extension à la physique (section 4), son semi-intuitionnisme en arithmétique (section (5), en ajoutant la logique ainsi que son « prédicativisme » en théorie des ensembles (section 6).

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Table des matières

1. Repères biographiques

2. Introduction

a. Traits généraux de la philosophie de Poincaré

b. Actualité de l’œuvre philosophique

c. Orientation bibliographique

3. Géométrie

a. Le conventionnalisme géométrique de Poincaré

b. La genèse psycho-physiologique de la géométrie

c. Poincaré et Hilbert

d. Poincaré, Couturat et Russelle. Poincaré et Mach

4. Physique

a. Mécanique

b. Optique et Electrodynamique

5. Arithmétique

a. Itération indéfini

b.  Principe de l’induction complète

6. Logique et théorie des ensembles

a. Logique, psychologie et intuition

b. Définition d’un ensemble

7. Bibliographie

a. Sources primaires

b. Sources secondaires

c. Ressources internet

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1. Repères biographiques

Jules Henri Poincaré est né le 29 avril 1854 à Nancy. Reçu 1er au concours de l’École polytechnique en 1873, il intègrera ensuite l’École des mines de Paris. Il est nommé, en 1881, maître de conférencesà la Faculté des sciences de Paris pour enseigner le calcul différentiel et intégral,; puis, en 1886, il est nommé professeur, occupant alors la chaire de physique mathématique et de calcul des probabilités. En 1896, il est finalement nommé professeur d’astronomie mathématique et de mécanique céleste. Il entre à l’Académie des sciences à trente trois ans. Auteur de trois livres sur la philosophie et les problèmes généraux de la science, il est élu, en 1908, à l’Académie française. Il y sera suivi, en 1910, par son cousin Raymond et, en 1914, par son beau-frère philosophe, Émile Boutroux.

En 1889, le roi de Suède et de Norvège décerne à Poincaré le premier prix pour sa contribution au problème de la stabilité de 3 corps (par exemples des planètes du système solaire). Ce qui fait de lui une personnalité publique, comme le serait, aujourd’hui, un lauréat du prix Nobel. En dépit d’une erreur mathématique, le mémoire de Poincaré reste important par l’utilisation de méthodes topologiques et par la découverte du chaos potentiel dans les équations de la dynamique. Une des conséquences en est que la stabilité de systèmes de n corps en mouvement n’est pas démontrable (1893). Particulièrement célèbre est la conjecture suggérée par Poincaré en 1904 au sujet de la caractérisation topologique des sphères à 3 dimensions. Il a fallu attendre cent ans pour que le mathématicien russe Grigori Perelman réussisse à la démontrer.

En physique mathématique, Poincaré énonce le premier le principe de relativité pour l’électrodynamique (1904) propose une loi de gravitation relativiste. Il est également parmi les premiers à démontrer la nécessité d’un saut quantique pour pouvoir rendre compte de la loi de Planck du rayonnement des corps noirs. En électrotechnique, on lui doit une méthode d’intégration de l’équation des télégraphistes et, en théorie des marées, il a trouvé une solution générale.

Finalement, en philosophie,le conventionnalisme de Poincaré, selon lequel l’expérience doit être organisée par des conventions, a eu une grande influence sur l’épistémologie du XXe siècle (voir Ben-Menahem 2016).

Poincaré est un savant tout à fait singulier :

- Sa première singularitétient sans aucun doute à sa prodigieuse intelligence. Nous savons qu’il effectuait son travail souvent mentalement, qu’il ne suivait pas une démarche linéaire, qu’il avait une curiosité très étendue, qu’il négligeait le plus souvent les détails, qu’il montrait peu de patience dans son travail, qu’il avait une grande facilité à tout pénétrer par lui-même dès qu’un collègue portait quelque chose à sa connaissance.

- La seconde singularité, la plus importante, concerne évidemment ses résultats, qui sont l’expression d’une force de synthèse unique reliant des domaines tenus auparavant pour séparés quand il n’étaient pas tenues pour exotiques (comme les géométries non-euclidiennes). Poincaré n’est pas seulement le co-créateur de pans entiers des mathématiques et de la physique (topologie algébrique, théorie du chaos, relativité restreinte), mais également un philosophe, un administrateur et un organisateur de la vie scientifique, au niveau national et international.

C’est sa constante comparaison de différentes argumentations, sa conscience de la variabilité des théories et de la vulnérabilité de nos hypothèses les plus sûres qui permettent de caractériser sa pensée comme antidogmatique et singulière.

Cependant, il est vrai que la personnalité de Poincaré n’inspire pas les biographes de la même manière qu’Einstein ! Les raisonsen sont multiples : sa carrière se déroule entièrement selon les normes françaises, il ne rencontre pas d’obstacles majeurs dans sa vie professionnelle, sa vie familiale, qui peut être caractérisée de « bien rangée », ne connaît aucun scandale. Il se méfiait manifestement de toute exagération. Vulgarisateur scientifique, pédagogue, homme de lettres, il devint, certes, une icône de la presse populaire(voir Rollet 2017, p. XLVI), mais sa popularité ne persiste guère après sa mort.Par le simple fait que son cousin germain Raymond Poincaré fut Président de la République, pendant la Première Guerre mondiale, la chronique familiale des Poincaré est devenue plus tard une affaire publique.

Pour avoir une image plus complète de l’homme des sciences, il convient de prendre en compte ses liens familiaux (voir Boutroux 2012), ses réseaux scientifiques et philosophiques, ses responsabilités administratives et scientifiques au bureau des Longitudes, au conseil de l’Observatoire, comme directeur de l’Académie française, président de l’Académie des sciences, de la commission du Répertoire bibliographique des sciences mathématiques, de la Société mathématique de France, de la Société française de physique. Poincaré s’est intéressé aux réformes de l’enseignement à son époque et rédigea même des écrits pédagogiques. Il s’est surtout engagé dans l’affaire Dreyfus : en 1899, lors du deuxième procès de Dreyfus à Rennes, une longue lettre de Poincaré est lue dans laquelle il critique fermement l’utilisation erronée faite par les antidreyfusards du calcul des probabilités dans l’analyse de l’écriture du bordereau. Puis, lors de l’enquête de la Cour de cassation, suite à la demande en révision du procès,Poincaré rédige, en 1904, un rapport d’enquête. Ilconclut que l’accusation repose sur des raisonnements et des calculs inexacts, effectués sur des reconstitutions fausses du bordereau.Ce résultat jouera un rôle important dans la réhabilitation de Dreyfus en 1906(voir Rollet 1997, Mawhin 2004, Ginoux/Gerini 2012).

En politique, c’est un républicain modéré et conservateur. Comme toute sa génération, il sera profondément marqué par la guerre de 1870 et, à titre personnel, par l’occupation de Nancy et par l’annexion de l’Alsace-Lorraine.

Son décès prématuré à Paris le 17 juillet 1912, à l'âge de 58 ans, provoqua une grande émotion en France et dans le monde. Max Planck dit dans sa lettre de condoléances à la veuve du défunt qu’il travailla non pas « pour le temps, mais pour l’éternité » ; et on le compara non seulement à Gauss et Cauchy, mais également à Pascal, Kant et Leibniz.

2. Introduction

a. Traits généraux de la philosophie de Poincaré

La philosophie de Poincaré n’est pas celle d’un philosophe professionnel. De plus, elle ne vise pas à élaborer un système général. Il s’agit d’abord d’une philosophie de savant trouvant ses fondements dans sa pratique quotidienne de la science et dans les débats scientifiques de son temps. À ce titre elle est fortement influencée par les réflexions de Ernst Mach, James Maxwell ou Hermann vonHelmholtz. Cependant, sa pensée est aussi très marquée par les doctrines philosophiques de son temps (celles d’Émile Boutroux, son beau-frère, mais aussi de Jules Lachelier, William James, etc.), et imprégnée d’un néokantisme très en vogue à son époque. Il faut néanmoins se garder de penser que le vocabulaire « kantien »de Poincaré a exactement celui du philosophe allemand. Souvent, il en change radicalement sa signification.

Dès 1880, il collabore avec Émile Boutroux à l’édition de la Monadologie de Leibniz. Quelques années plus tard, il s’intéresse à l’évaluation philosophique des géométries non euclidiennes (1887). Cependant c’est surtout à partir des années 1890 qu’il deviendra un acteur essentiel de la scène philosophique française, notamment à travers une implication continue au sein de la Revue de métaphysique et de morale (dans laquelle il publie une vingtaine d’articles jusqu’à sa mort) et la participation à l’organisation d’un grand nombre de manifestations : la célébration du tricentenaire de la naissance de Descartes, le Congrès international de philosophie de 1900, l’entreprise internationale d’édition des Œuvres de Leibniz.

Poincaré est connu comme initiateur du« conventionnalismegéométrique ». Cette dernière expression est un raccourci commode – que Poincaré n’employa pas lui-même. Elle signifie que les axiomes géométriques sont le résultat des conventions guidées par le critère de simplicité et l’expérience des phénomènes physiques. L’idée que les théories mathématiques intègrent des éléments décisionnels, de sorte qu’elles ne sont ni de pures copies de relations idéales, ni les réalisations d'une abstraction inductive, pas plus qu’elles ne résultent d’une évidence a priori, constitue la contribution la plus reconnue et importante de la philosophie de Poincaré.

Outre cet apport essentiel, Poincaré mènera une réflexion très approfondie sur le rôle de l’intuition non seulement dans l’ordre de l’invention ou de l’enseignement, mais également pour la justification de certains raisonnements mathématiques. Ce qui le conduira à entrer dans une très vive controverse en s’opposantaux thèses logicistes et formalistes.

Il existe deux traditions d’interprétation de Poincaré : l’une insiste sur sa tendance « intuitionniste » et sur la polémique avec logicisme et formalisme ; l’autre met surtoutl’accentsur les aspects conventionnalistes et linguistiques de la pensée du savant.

Poincaré ne donne nulle part une exposition systématique de sa philosophie, mais son article On the Foundations of Geometry, un travail de 43 pages, publié en anglais dans the Monist d’octobre 1898 (trad. fr. in : Poincaré, L’Opportunisme scientifique) constitueau moins pour la philosophie de la géométrie un exposé bien accompli. On peut alors constater que les deux interprétations habituelle de Poincaré qui viennent d’être signalées ne sont pas seulement partielles mais qu’elles entravent la compréhension de sa pensée. Poincaré n’est pas une fois kantien ou intuitionniste (en arithmétique), une fois conventionnaliste (en géométrie), ou encore, une autre fois, prédicativiste (en théorie des ensembles), voire empiriste (en physique). Chez Poincaré, ces ismes sont les variantes de la même approche philosophique, déclinée en arithmétique, géométrie et physique, mais développée le mieux en géométrie : elle consiste dans un programme de reconstruction du processus de la compréhension des théories scientifiques. Dans ce processus, une base « empirique » sert d’occasion pour apercevoir une structure scientifique. Les relations empiriques en sont des exemplifications(elles ne sont que“semblables” à la structure) et les théories formelles en sont des instances. Le trait d’union entre le langage des théories formelles et l’expérience est l’« hypothèse », un terme technique que Poincaré utilise pour différentes sortes de généralisations. L’hypothèse, déclinée en naturelle, vérifiable, indifférente et apparente, figure comme critère à la fois de la différence méthodique et de l’analogie des différentes sciences. Sa forme est déterminée par l’usage que l’on fait de la relation entre la liberté créatrice et le guidage par l’expérience. La construction des objets est simultanément conçue comme la construction d’un langage ou, plus exactement, la base empirique y constitue une occasionde l’apprentissaged’un langage scientifique par le recours de choix décisionnels (au sens d’un décisionnisme) à plusieurs niveaux de l’apprentissage.

Appeler la philosophie de Poincaré “conventionnalisme” conduit facilement à une simplification à outrance si on entend par cela qu’il existe un consentement rationnel mais arbitraire par rapport à l’objet de la convention. Jules Vuillemin (1970, p. 12) l’a bien compris et utilise le terme “occasionalisme” qui suggère néanmoins d’autres connotations philosophiques. Afin de ne pas compliquer ma tâche par des problèmes terminologiques, je conserve l’expression »conventionnalisme ».

b. Actualité de l’œuvre philosophique

Si la philosophie se réduisait à l’étude des doctrines philosophiques et de leur succession historique, l’œuvre de Poincaré n’y contribuerait que peu. Mais si nous adoptons le point de vue devenu très répandu depuis Ludwig Wittgenstein etMoritz Schlick (1932, p. 126sq.), à savoir que la philosophie se consacre moins à la poursuite de la vérité par un certain nombre de « propositions philosophiques » qu’à la poursuite de la clarification de ces propositions, nous nous rendons compte de l’importance philosophique des idées qui sontà la base de ses réflexions scientifiques.

Dans les Actes du Congrès International de Philosophie scientifique, tenu à Paris en 1935, Louis Rougier note dans son avant-propos que « André Lalande […] montra par sa présence que la Sorbonne ne demandait qu’à renouer la tradition, inaugurée avec tant de maîtrise au début du XXe siècle, par le rénovateur en France de la philosophie scientifique, Henri Poincaré » (Rougier 1936, p. 5). En même temps, Philipp Frank, au nom des participants venant d’Europe centrale, souligne dans son allocution inaugurale l’influence qu’exerçait Poincaré dans les groupes de Vienne et de Prague où on rejetait les doctrines de Bergson, Meyerson et Boutroux. D’un autre côté, Frank affirme que « le Cercle de Vienne » ne reçut une direction scientifique constructive qu’après avoir adopté l’esprit de la nouvelle logique de Russell (Frank 1936, p. 13-14). Dès lors, l’ambition chez Frank de placer l’empirisme logique dans l’héritage de Poincaré semble être à la fois anachronique et paradoxal, puisque Poincaré s’opposait à ses pères fondateurs Russell et Frege en plusieurs points fondamentaux.

Et cependant, aujourd’hui, l’actualité de l’épistémologie de Poincaré consiste, d'une part, dans le fait que la connaissance physique et géométrique n’est plus régie par une connexion intuitive directe des objets représentés (« principe psychologique de relativité » (Poincaré 1913, p. 42), et qu’elle permet, d’autre part,d’éviter la distinction stricte entre propositions analytiques et synthétiques : car autrement, les propositions mathématiques devraient empiriques, ce qui semble absurde, ou analytiques, ce que Poincaré refuse. La philosophie dans l’héritage de l’empirisme logique exige aussi un remaniement que reflète un souci constant de Poincaré : après les problèmes philosophiques qu’ont rencontrés le formalisme et le logicisme, la compréhension en mathématiques ne peut se réduire à une description formelle de son objet.

Ni formaliste, ni intuitionniste ou empiriste, Poincaré ouvre une voie entre une théorie réaliste et anti-réaliste de la connaissance mathématique. Certes, nous ne dissimulerons pas les difficultés techniques non maitrisées (la détermination de la dimension de l’espace) et des présuppositions fragiles (le caractère non spatial des sensations), mais l’idée philosophique de son approche qui s’apparente à certains traits du pragmatisme reste actuelle : la construction (position anti-réaliste) et la description (position réaliste) des objets mathématiques sont deux aspects indispensables de leur constitution, c’est-à-dire l’épistémologie et l’ontologie sont mutuellement dépendantes.

c. Orientation bibliographique

De ses Œuvres, publiés en 11 volumes chez Gauthier-Villars, le volume 11 (1956), contenant Le Livre du centenaire de sa naissance, est particulièrement intéressant pour le philosophe, car il contient plusieurs articles de Poincaré sur les fondements de la géométrie, sur les nombres transfinis et sur la théorie des ensembles. Ne sont pas contenus dans ses Œuvres les cinq volumes les plus philosophiques de Poincaré dont trois ont été publiésdans la Bibliothèque de Philosophie Scientifiquechez Flammarion de son vivant : La Science et l’hypothèse (1902), La Valeur de la science (1905) et Science et méthode (1908).Les héritiers ont publié un an après le décès de Poincaré un quatrième volume, intitulé Dernières pensées (1913). Ce sont en fait des recueils d’articles, publiés antérieurement, auxquels Poincaré a jouté une introduction. Ils avaient un succès énorme : en 1925, quarante milles exemplaires de La Science et l’hypothèse, devenue depuis un classique traduit en toutes langues, ont été vendus.Louis Rougier planifiait d’éditer un cinquième et dernier volume, L’Opportunisme scientifique, qui ne fut publié qu’en 2002. Cetouvrage contient, outre l’histoire de son édition, différents articles d’intérêt philosophique, non contenus dans les œuvres et, surtout, la traduction française par Rougier des Fondements de la Géométrie, l’important article publié en anglais dans TheMonist en 1898. L’éditeur a également ajouté une liste utile des sources des articles rassemblés dans les premiers quatre volumes avec les modifications effectuées par rapport aux premières éditions.La correspondance de Poincaré est actuellement en cours de publication.

3. Géométrie

a. Le conventionnalisme géométrique de Poincaré

Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents mais possèdent un caractère synthétiques et a priori. Face à la découverte au XIXe siècle de l’existence de plusieurs géométries possibles pour décrire les phénomènes de la nature, la solution kantienne se trouve en difficulté pour expliquer pourquoi l’axiome des parallèles est un jugement synthétique a priori et donc nécessaire, bien que sa négation soit possible et engendre des théories, aussi cohérentes que celle d’Euclide, appelées géométries non-euclidiennes. Au lieu d’immuniser la théorie kantienne par rapport au développement des sciences en refusant aux jugements non-euclidiens le statut de connaissances, les tenants du conventionnalisme soulignent le rôle indispensable joués par des conventions impliquant un choix et des décisions pour l’acceptabilité de la connaissance mathématique etabandonnent le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet, les géométries non-euclidiennes sont bien plus qu’un simple jeu logique : elles sont utiles à la fois à l’intérieur de l’édifice mathématique et pour nos meilleures descriptions du monde physique. Dès 1881 Poincaré appliquait la géométrie hyperbolique (de Nikolai Lobatchevski) pour résoudre certains problèmes dans la théorie des fonctions (voir Gray, / Walter 1997).

Dans son célèbre article « Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie » (1887), il compare, pour la première fois, le choix entre la géométrie euclidienne et celle de Lobatschevski à un choix de système de coordonnées en précisant en même temps que ce choix n’est pas arbitraire et que ce point de vue commence « à devenir banale ». En effet, des tendances conventionnalistes se trouvent également dans les travaux plus ou moins contemporains de Ernst Mach et d’Emile Boutroux. En outre, on ne peut non plus dire que le conventionnalisme n'est qu'une conséquence philosophique de la découverte des géométries non-euclidiennes : l’allemand Carl Gustav Jacob Jacobi soutient dans son cours sur la mécanique analytique (1847/48) des positions fort semblables au conventionnalisme de Poincaré en physique (voir Pulte 2000).

En première approche, le conventionnalisme géométrique de Poincaré se compose de trois thèses:

i) L’expérience ne se rapporte pas à l’espace mais aux corps empiriques. La géométrie traite de corps idéaux et ne peut donc être ni confirmée ni réfutée par l’expérience. Puisque les propositions de la géométrie ne peuvent pas être analytiques et nécessaires non plus, il doit par conséquent exister des propositions géométriques qui sont des hypothèses apparentes (Poincaré 1902, p. 24) ou des conventions ;ni empiriques ni analytiques, les conventions poincaréiennes sont donc l’analogue systématique du synthétique a priori de Kant.

ii) Le choix entre conventions, en particulier entre différentes géométries, est guidé par l’expérience (Poincaré 1902, p. 75);

iii) « La géométrie euclidienne n’a rien […] à craindre d’expériences nouvelles », car elle est la plus avantageuse et la plus commode (Poincaré 1902, p. 95).

Mis à part (Vuillemin 1973) et (Torretti 1978), on a rarement essayé d’attribuer à l’expression « guidé par l’expérience » (seconde thèse) une autre signification que celle d’une métaphore.Etla commodité (troisième thèse)a toujours été considérée comme tentative d’introduire dans le conventionnalisme post festum un profil pragmatique, c’est-à-dire d’accorder une préférence utilitaire à un des choix possibles.

Cependant, lorsqu’on prend en considération le souci constant de Poincaré de ne pas séparer la compréhension en mathématiques du contexte de sa genèse logique et historique, des considérations génétiques par rapport à la seconde thèse permettent de lier la commodité de la géométrie euclidienne (troisième thèse) directement à la liberté tout relative du choix métrique (première thèse). Pour ce faire, il faut d’abord libérer la première thèse de son dualisme sous-jacent concernant le lien entre la théorie et les données. Le résultat en sera que les conventions de Poincaré ne se réduisent pas à des décision arbitraires entre deux descriptions d’un fait.

La première thèse suggère que la géométrie ne puisse être ni vraie ni fausse, parce qu’elle contient des éléments théorétiques, conventionnels. Or Poincaré souligne que l’on peut très bien parler de vérité après avoir fixé des conventions. A quoi s’en tenir ? La solution n’est accessible que par une analyse détaillée.

1° — Qu’est-ce qu’entend Poincaré par vérité ? Dans la préface de La valeur de la science, il remarque que :

« La vérité [...] n’est pas tout à fait ce que la plupart des hommes appellent de ce nom »(Poincaré 1905, p. 21).

Poincaré abandonne la vérité absolue d’un fait empirique. Nous pourrions avoir différents images mentales du monde qui ne sont ni plus vraies et ni moins vraies que celles que nous avons présentement (Kamlah 1996, p. 153 sq.). Il est bien possible qu’il existe, ontologiquement parlant, un monde indépendant de notre esprit, mais cette indépendance n’est pas épistémologique. Le constat de vérité présuppose toujours la fixation de conventions. Ces conventions ne sont nullement des notations quelconques d’un fait, mais sont elles-mêmes la condition de la possibilité de parler, si non des faits, au moins de leur objectivité structurelle (Poincaré 1905,p. 23) :

« Si vous me posez la question : tel fait est-il vrai ? Je commencerai par vous demander, s’il y a lieu, de préciser les conventions, par vous demander, en d’autres termes, en quelle langue vous avez parlé ; puis une fois fixé sur ce point, j’interrogerai mes sens et je répondrai, oui ou non »(Poincaré 1905, p. 158-159).

Les conventions en tant que classifications préservent l’objectivité au sens fort de référence. La classification n’est pas seulement l’élément médiateur entre la sensation et l'observable, mais elle nous permet en même temps de restituer une clarté dans l'expression autrement vague disant que les axiomes géométriques sont des conventions : normalement cette formulation est abusive, parce que le concept de convention ne concerne que la distance, ce qui, mathématiquement, revient à accepter ou réfuter le postulat des parallèles. Or, chez Poincaré, des conventions en tant que décisions classificatoires interviennent déjà dans l’interprétation des concepts de base de chaque théorie et, en géométrie, elles interviennent dans la constructions de la géométrie absolue, la partie commune à la géométrie euclidienne et aux deux géométries non-euclidiennes. La convention la plus connue concerne le choix entre ces trois géométries. En d’autres termes, Poincaré utilise différentes sortes de conventions.

2°— Adoptercetteinterprétation épistémologique du conventionnalisme poincaréienrevient à dire qu’il est lié à une géométrie interprétée ou physique. Cette thèse est soutenue en particulier par les interprètes appartenant à l’empirisme logique comme Moritz Schlick, Hans Reichenbach ou Rudolf Carnap. En sa faveur parlent trois arguments principaux qui, bien qu’ils ne soient que rarement mentionnés ensemble, possèdent la forme suivante (voir Wright 1975, pp. 144sq.) :

(a)L’espace est amorphe,ausens où sa structure interne n’implique aucune métrique particulière. La définition d’une distance et donc d’une géométrie, exige une donnée externe qui, à l’intérieur du cadre présupposé d’une courbure constante, peut varier. Ainsi, il n’y a plus aucune raison de supposer que la structure de l’espace est uniquement déterminée par des faits géométriques. Cependant, il pourrait toujours exister une raison physique pour maintenir un point de vue empirique, c’est-à-dire pour étayer la conviction que la bonne géométrie serait celle qui correspond aux faits extérieurs. Poincaré exclut cette possibilité par :

(b) la présupposition holiste d'une corrélation entre géométrie et physique. Même après le choix d’une métrique, la géométrie de l’espace n’est pas encore complètement déterminée : on ne peut la tester sans admettre des hypothèses physiques, par exemple concernant la rigidité des corps ou le comportement des rayons lumineux. Poincaré remarque qu’il nous faut choisir la métrique et les hypothèses physiques de manière à ce que la géométrie et la physique réunies coïncident avec les « faits ». Il y a donc la possibilité de porter son choix conventionnel, soit sur les éléments géométriques, soit sur ceux de la physique. Cette position holiste du conventionnalisme semble reposer sur une autre présupposition, à savoir sur :

(c) la conjecture de la différence de principe entre théorie et observabilité. Étant donné que le fait empirique est conçu comme une invariante observable à partir de différentes descriptions physico-géométriques, il devrait être directement accessible, indépendamment de tout cadre théorique. En d’autres termes, le holisme peut être accompagné - et le fut historiquement chez Duhem — d’un réalisme empirique. On peut en effet maintenir la dichotomie entre expérience et théorie, entre ce qui est donné et ce qui est dit, en remarquant simplement qu’on s’est trompé quantitativement : les adeptes d’une telle position se refusent à confronter une hypothèse singulière avec les données de l’expérience mais jugent cette confrontation possible par rapport à la totalité des propositions théoriques pertinentes (cf. Meyer 1992, p. 250/51). Or, il semble assez évident, que la thèse poincaréienne de la relativité psychologique de l’espace (cf. section II) est incompatible avec un accès direct au monde réel (voir également Poincaré 1905, p. 163).

Les conventions sont guidées par l’expérience et le choix d’une convention est déterminée par le critère de commodité. Mais Poincaré y ajoute encore une autre affirmation (cf. la troisième thèse) qui, dans la lumière de la théorie générale de relativité, ne trouve aujourd’hui guère plus qu’un intérêt historique : il prétend que la géométrie euclidienne n’aurait rien à craindre d’expériences nouvelles. Comment justifier une telle position ? L’argument logique du holisme est de toute façon insuffisante pour s’assurer que l’on peut toujours garder la géométrie euclidienne : ce qu’il nous faut est l’assurance que les lois physiques sont vraiment modifiables de telle sorte que la géométrie euclidienne puisse être conservée. Or les lois physiques sont soumis au progrès scientifique et il est douteux que l’on abandonne toujours une loi physique très bien confirmée et utile pour “sauver”la géométrie.

Cependant, une autre argumentation, indépendante du développement technique est bien possible. Une préséance de la géométrie euclidienne pourrait être maintenue, si on se plaçait dans l’ordre de la compréhension génétique. La géométrie euclidienne serait alors irréfutable parce qu’elle définit, dans la genèse logique de l’espace géométrique, les méthodes de mesure au niveau d’un horizon d’objectivité qui correspond à notre expérience avec les corps de grandeur moyenne. Et c’est en effet cette sorte d’expérience qui est à l’origine de la reconstruction logique de l’espace géométrique selon Poincaré.

3° — Il existe une célèbre discussion conduite parAdolf Grünbaum, Hilary Putnam, Jerzy Giedymin et beaucoup d’autres sur l’interprétation de l’expérience des parallaxes (voir par ex. Grünbaum 1973 et 1978, Putnam 1975, Giedymin 1982, Friedman 1972, Diederich 1974). Supposons qu’il y a un conflit empirique provoqué par l’application d’une théorie géométrique et qu’on trouve une solution à ce conflit à l’aide d’une re-métrisation, c’est-à-dire en adoptant une nouvelle métrique compatible avec les lois physiques. Cette solution est alors interprétable comme simple ré-formulation de la théorie en respectant les parties physiques et géométriques ou comme changement épistémologique qui impliquerait que la séparation du contenu théorétique et observationnel des nouvelles théories ne correspond plus à la séparation des anciennes théories. En d’autres termes, une fois, le conventionnalisme est une thèse seulement linguistique concernant l’intertraductibilité entre différents langages géométriques et physiques, une autre fois, il est également une thèse épistémologique concernant la frontière floue et conventionnelle entre le langage théorétique et le langage observationnel de la physique. Tout en soulignant que Poincaré conçoit la convention souvent au sens linguistique et ceci surtout par rapport à la question de la métrisation de la géométrie, la thèse que le conventionnalisme se réduise à un problème de traduction entre différents systèmes de la géométrie pure n’est pas seulement dépourvue d’intérêt philosophique, puisque mathématiquement décidable, mais, selon un point de vue contemporain, elle est également fausse: il n’existe pas d’homéomorphisme de l’espace compact elliptique sur l’espace non-compact hyperbolique (voir Wright 1975, p. 151 et Süßmann 1990). Nous allons voir plus loin (section b) que même chez Poincaré les conventions linguistiques ne sont pas au centre de son épistémologie.

4° —Le conventionnalisme de Poincaré doit être détaché de l’axiomatique hilbertienne et placé dans son contexte historique : celui du fondement de la géométrie à l’aide du concept de groupe de transformation. Poincaré lie ses recherches sur les fondements de la géométrie (voir Poincaré 1902, chap. IV qui est une modification légère de Poincaré 1895 ; Poincaré 1921 dont la première publication en anglais date de 1898; Poincaré 1905, chap. III qui est extrait de Poincaré 1903 ; Poincaré 1908, 2e livre, chap. I et Poincaré 1913, article « Pourquoi l’espace à trois dimensions »)au concept de groupe qui, dès 1880, est considéré comme forme invariante de différentes géométries (voir Gray/Walter 1997, p. 35). La géométrie n’est rien d’autre que l’étude d’un groupe. Et « puisque l’existence d’un groupe n’est pas incompatible avec celle d’un autre groupe », on ne peut dire qu’une géométrie est vraie et qu’une autre est fausse (Poincaré 1887, p. 90 sq.).

5° On peut s’imaginer que la géométrie est, d’un point de vue méthodique, le maillon qui relie, dans une hiérarchie des sciences, qui vu de l’a priori à l’empirique, de l’arithmétique à la physique. Le statut des propositions arithmétiques étant a priori, celui des propositions géométriques conventionnelles(ni a priori ni empirique) et celui des propositions physiques empirique. Tout en maintenant cette hiérarchie, Poincaré ne serait pas d’accord avec une telle caractérisation (cf. Dunlop 2016). Certes, nous allons voir que le principe de récurrence en arithmétique est, selon lui, un principe a priori, mais cet a priori prend plutôt la forme d'une convention nécessaire au sens d’une décision sans alternatives; certes, la métrique en géométrie est conventionnelle, mais les axiomes topologiques de la géométrie sont a priori et, finalement, si une loi physique « a reçu une confirmation suffisante de l’expérience [...] on peut l’ériger en principe, en adoptant des conventions telles que la proposition soit certainement vraie » (Poincaré 1905, p. 165). Quoi que la situation soit donc plus complexe que supposée, la hiérarchisation des sciences semble porter un trait de kantisme difficilement conciliable avec nos vues du XXe siècle, où l’isolement de l’espace et du temps est devenu obsolète depuis la théorie restreinte de la relativité. D’autre part, privé de son rôle dans la hiérarchie des sciences, le conventionnalisme par rapport à la géométrie perd de son intérêt particulier, parce qu’il se réduit alors à la thèse de Duhem-Quine, valable pour chaque discipline mathématisée, et disant qu’on a le choix - en face d’une difficulté de vérification - soit de changer les lois spécifique de la discipline (p. ex. de la physique) soit de changer les axiomes des mathématiques. Le conventionnalisme géométrique ne se réduit pas à ce choix conventionnel, mais il l’inclut, comme nous le verrons plus loin ( section d).

b. La genèse psycho-physiologique de la géométrie

Dans son premier article sur les fondements de la géométrie (1887) Poincaré remarque que le choix entre différentes géométries est comparable à celui d’un système de coordonnées (voir Poincaré 1887,pp. 90 sq.). Au départ, notre corps joue ce rôle de système de coordonnées par rapport auquel nous localisons un objet dans l’espace (voir Poincaré 1908, p.104). Localiser un objet dans l’espace signifie pour Poincaré se représenter le déroulement d’une action pour atteindre cet objet, c’est-à-dire se représenter des séquences de sensations musculaires et non spatiales. Ainsi la représentation d’un objet dans l’espace sensible ne signifie rien d’autre que la reproduction conscient de sensations musculaires nécessaires pour atteindre cet objet (Poincaré 1902, p. 82).Pour classifier ces sensations, Poincaré introduit la catégorie essentiellement vague de l’espace représentatif ou sensible (voir Poincaré 1921, p. 7sq.) : il n’y a ni mesure ni possibilité de parler d’axes constants par rapport à notre corps mais grâce à lui, on peut comparer des sensations de même genre et constater la contiguïté de deux objets. Per se, toutes les sensations sont différentes, puisque accompagnées, par exemple, de « sensations olfactives ou auditives diverses » (Poincaré 1913, p. 142). Leur indiscernabilité est une conséquence de notre classification abstractive.

Retenons que l’espace représentatif n’est pas formé par une classification à partir de sensations motrices, mais qu’il est au contraire la condition nécessaire d’une classification de sensations motrices. Il est une forme de notre entendement et non de notre sensibilité (Kant) puisqu’une sensation individuelle peut exister sans lui (Poincaré 1921, p. 3).

La construction de l’espace géométrique procède maintenant du fait observable qu’un ensemble d’impressions peut être modifié selon deux façons distinctes : d’une part sans que nous éprouvions des sensations musculaires et d’autre part par une action motrice accompagnée de sensations musculaires. Dans le premier cas, Poincaré parle d’un changement externe, dans le deuxième cas, d’un changement interne. Cette observation suggère une classification conventionnelle des changements externes et internes : des changements externes (internes) « corrigibles » par un changement interne (externes) sont appelés changements de position, les autres changements d’état. Poincaré donne l’exemple d’une sphère tournant sur elle-même dont un hémisphère est bleu et l’autre rouge,et d’un liquide bleu contenu dans un vase subissant une réaction chimique qui le fait devenir rouge. « Dans les deux cas l’impression de bleu a été remplacée par celle de rouge » (Poincaré 1921, p. 12). En tournant autour de la sphère on peut éprouver une seconde fois l’impression de bleu, ce qui est impossible dans le second cas. A partir de cette observation, la construction d’un groupe de transformation peut s’écrireaujourd’hui de la manière suivante (voir Vuillemin 1973 ; le lecteur pressé peut passer les passages techniques, écrits en police plus petite) :

1) Deux changements internes sont considérés comme indiscernables s’ils provoquent les mêmes sensations musculaires (Poincaré 1905, p. 79 : s’ils sont « trop voisins l’un de l’autre »)

2)

ceci signifie : deux changements externes sont équivalents si et seulement s’ils possèdent une propriété en commun, c’est-à-dire s’ils sont susceptibles d’être compensés d’une manière approximative par le même changement interne.

3)

signifie l’équivalence de deux changements internes.

4) Siet sont des relations d’équivalence, alors les classes d’équivalences de changements de position s’appellent déplacements (externes et internes). Les déplacements sont donc identiques ou disjoints. La définition des déplacements en tant que classes d’équivalence permet de définir l’identité « et il en résulte qu’un déplacement peut être répété deux ou plusieurs fois » (Poincaré 1921, p.16/17). Remarquons que Poincaré utilise souvent le même mot « déplacement »à la fois pour les classes d’équivalence et pour ses éléments, c’est-à-dire les « changements de position ».

5) Cependant, et ne sont pas transitives:

Les deux premières lignes n’impliquent pas la dernière.

6) D’où l’introduction dans Poincaré 1905, p. 72 (1903) d’une nouvelle loi :

Soit

Cette loi garantie la transitivité : Q = S’. Mais quel est le statut de cette loi ? Poincaré semble affirmer qu’il s’agit d’un fait empirique : « Si elle ne se vérifiait pas, au moins approximativement, il n’y aurait pas de géométrie, il n’y aurait pas d’espace » (Poincaré 1905, p. 72-73). Pour Roberto Torretti, cette explication de Poincaré est erronée. Il donne le contre-exemple suivant  (Torretti 1978, p. 343) : étant donnés trois changements externes, compensés par trois changements internesS, S’ et S’’, tels que S est un changement de 1cm, S’un changement de 1 cm et k mm et S’’ changement de 1 cm et 2k mm. Il se peut alors que

Le contre-exemple est correct, mais ne constitue pas une réfutation de Poincaré. En effet, Poincaré n'est pas empiriste : l'expérience nous apprend seulement « que la compensation s’est approximativement produite » il ne donne à l’esprit que « l’occasion d’accomplir cette opération », mais « la classification n’est pas une donnée brute de l’expérience » (Poincaré 1921, p. 16). Et Poincaré est très précis par rapport à l’imprécision à ce niveau de la reconstruction :

« Quand l’expérience nous apprend qu’un certain phénomène ne correspond pas du tout aux lois indiquées, nous l’effaçons de la liste des déplacements. Quand elle nous apprend qu’un certain changement ne leur obéit qu’approximativement, nous considérons ce changement, par une convention artificielle, comme la résultante de deux autres changements composants. Le premier composant est regardé comme un déplacement satisfaisant rigoureusement aux lois dont je viens de parler, tandis que le second composant, qui est petit, est regardé comme une altération qualitative »(Poincaré 1921,p. 19/20).

L’exemple de Torretti est dans le contexte donné un cas spécial qui devrait être analysé, comme le décrit Poincaré, dans deux différents changements. En d’autres termes, l’opération «  » entre changements de positions est seulement transitive dans un sens vague.

Supposons maintenant que la théorie de compensation permet de former des classes “vagues” d’équivalence qui prennent la forme d’un déplacement externe, représenté par

et d’un déplacement interne, représenté par

.

Le point fort de la justification génétique de Poincaré consiste dans le fait que l’ensemble des classes de déplacements forme un groupe au sens mathématique étant sous-entendu que la clôture du groupe est considérée comme sa propriété essentielle (voir Johnson 1981, p. 92) :

« Si deux changements A et B sont des déplacements, le changement A+B est aussi un déplacement.Les mathématiciens expriment cela en disant que l’ensemble des déplacements forme un groupe. S’il n’en était pas ainsi il n’y aurait pas de géométrie » (Poincaré 1921, p. 17).

Bien que cette définition pût coïncider avec l’opinion courante de l’époque, il n’est pas sûr que Poincaré confond un groupoïde avec un groupe ; l’élément neutre existe pour lui plutôt de manière triviale et l’élément inverse est donné par la définition du changement externe. « Mais comment savons-nous que l’ensemble des déplacements est un groupe ? » (Poincaré 1921, p. 17). Plusieurs difficultés se présentent :

1/ Il faut qu’il existe pour deux déplacements quelconques des éléments qui, par rapport à l’opération du groupe, débutent et se terminent avec la provocation des mêmes sensations (Poincaré 1921,p. 18 ; voir également Johnson 1981, p. 93).

2/ Pour quatre déplacements qui se suivent dont l’ordre

D→+DS = 0 = D↑ + DS'

on ne peut conclure que

0 = D→; + DS + D↑ + DS' = D→ + D↑ + DS' +DS

(Poincaré 1921, p. 18) ; il faut présupposer l’associativité :

(((D→; + D↑) + DS') +DS) = (D→ + (D↑ + DS') +DS) = 0.

3/ Supposons

S→= S↑=I =S'+ =S'⮫.

Est-il alors possible de compenser

D→ + D+et D↑ + D⮫

par le même déplacement interne ?

Poincaré est bien conscient que la validité des propriétés de groupe en question ne résulte pas d’une réflexion a priori mais qu’elle est au contraire exposée au danger d’une réfutation empirique. Et pourtant, « la géométrie est à l’abri de toute révision » (Poincaré 1921, p. 19). Pour résoudre ce paradoxe, Poincaré introduit des conventions à différents niveaux de sa construction : en effet, dans l’espace représentatif déjà, les changements de position ne peuvent jamais être exactement réalisés puisque, en général, la position de départ ne coïncide pas exactement avec la position finale. Lorsque la succession de nos sensations, donc l’observation de nos sensations, que provoque un changement interne ne correspond pas à la compensation attendue, elle est, soit rayée, soit remplacée par une nouvelle « convention artificielle » qui considère le changement comme la résultante de deux composantes : l’une satisfait rigoureusement la compensation, la seconde étant une altération qualitative qui est dorénavant négligée (Poincaré 1921, p. 19-20). Pour obtenir une coïncidence exacte, il faut donc lire les corrections conduisant à des changements de position en tant qu’ordres d’action en vue d’une intention. On agit comme si on pouvait réaliser cette intention comme norme par rapport à « des corps idéaux [...] tiré[s] de toutes pièces de notre esprit » (Poincaré 1902, p. 93). Et pourtant, ce qui est réalisé n’est pas la norme, mais seulement l’ordre de réaliser cette norme. L’expérience y joue un double rôle : elle est l’occasion pour « introduire » la norme (sa ratio cognoscendi) (voir p. ex.Poincaré 1899, p. 276) et l’expérience sert d’occasion pour utiliser la norme en vue de conceptualiser la réalité (voir Poincaré1921, p. 20). Comme la catégorie de l’espace représentatif, le concept général de groupe est une forme de notre entendement.

L’étude de la structure des déplacements nous suggère encore d’autres idéalisations, à savoir de passer au concept mathématique de groupes continus de transformations (G). Les groupes isomorphes à G (dont certains peuvent opérer sur des matières plus simples que l’espace représentatif) seront ensuite à leur tour classés à l’aide de leurs sous-groupes qui se prêtent à y rapporter nos sensations. Ainsi on obtient une caractérisation des groupes qui correspond aux géométries à courbure constante. Parmi ces groupes nous choisirons finalement celui qui permet « l’affirmation de l’existence d’un sous-groupe invariant dont tous les déplacements sont échangeables et qui est formé de toutes les translations » (Poincaré 1921, p. 34.). En d’autres termes, nous choisirons le groupe qui correspond à la géométrie euclidienne, parce que ses sous-groupes sont mieux suggérés par l’expérience. En principe, nous aurions pu fixer une autre convention.

Les difficultés internes de l’approche poincaréienne concernent la dimension de l’espace. Dans son article de 1898, Poincaré propose une explication (mathématique) des trois dimensions de l’espace. Il a observé que le groupe euclidienpeut agir sur un espace de trois, quatre ou cinq dimensions. Le choix d’un espace tridimensionnel est alors justifié par des considérations de commodité. Malheureusement, l’argument de Poincaré est vicieux parce que le choix du groupe euclidien était fondé sur la classification de Lie des groupes de transformations agissant sur R3 et admettant un invariant fondamental. En 1903 et 1905,il revient à la question de la dimension de l’espace (après son travail sur l’analysis situs et son premier débat avec Russell sur le statut des axiomes de la géométrie) sans trouver néanmoins une solution stable et convaincante (voir Poincaré 1903 et 1905 et Heinzmann/Nabonnand 2008, p. 171 sq.).

c. Poincaré et Hilbert

Rapporteur des prix Lobatchevski et Bolyai attribués en 1904 et 1910 à David Hilbert, Poincaré est invité à Göttingen par son collègue et prononce six conférences sur des questions d’Analyse pure, de Physique mathématique, d’Astronomie théorique et de Philosophie mathématique (voir Poincaré 1910). Et pourtant, Hans Freudenthal a bien montré que la vue de Rougier et d’autres qui interprètent les axiomes géométriques conventionnels comme définitions implicites, sont fondées sur un malentendu anachronique qui considérait les vues de Hilbert à tort comme instrument adéquat pour l’interprétation de Poincaré (voir Freudenthal 1961 et Rougier 1920). Bien que le livre La science et l’hypothèse ne soit publié qu'en 1902, donc trois ans après les Fondements de la géométrie de Hilbert, il est en vérité un recueil qui rassemble des articles rédigés dans les années 90. Or, dans ces articles, Poincaré n’anticipe pas la vue de Hilbert selon laquelle les axiomes d’un système formel ne sont rien d’autres que des formes d’énoncés et donc dépourvues eo ipso d’une valeur de vérité. Poincaré utilise le terme définition déguisée avant 1899 pour exprimer que certains axiomes ne sont qu’en apparence utilisés de manière descriptive, mais définissent en vérité l’objectivité d’un fait (voir Poincaré 1899, p. 274). Ce fait ne se trouve défini qu’à la structure près mais reflète bien la vérité de certains relations entre objets dont la qualité reste — comme chez Helmholtz et d’autres— inconnaissable (Poincaré 1905, p. 174 (1901)) :

« ce que [la science] peut atteindre, ce ne sont pas les choses elles-mêmes, comme le pensent les dogmatistes naïfs, ce sont seulement les rapports entre les choses; en dehors de ces rapports, il n’y a pas de réalité connaissable »(Poincaré 1902, p. 25).

Une définition déguisée ou convention n’est pas opposée à une définition explicite, car elle estexplicite et non implicite, mais elle est opposée à une simple description des choses. Le terme « définition déguisée » caractérise une définition explicite d’une structure déguisée en axiome intuitif sur des choses.

Ceci dit, on ne doit pas oublier que dans les deux débats sur la géométrie, entre Poincaré et Russell d’une part, etentre Hilbert et Frege, d’autre part, Poincaré et Hilbert argumentent en faveur d’une nouvelle conception de systèmes géométriques, tandis que Frege et Russell défendent une manière plus traditionnelle de leur prise en considération. Poincaré et Hilbert considèrent tous les deux que tout ce que l’on peut dire sur la signification des termes comme “point”, “droite”, “distance” etc. est ce qui est dit dans les axiomes et que la géométrie n’exprime pas un ensemble de vérités sur quelques objets déjà connus. Le système d’axiome n’est pas composé de propositions (entité linguistique vraie ou fausse) et il n’existe pas d’objets particuliers que la géométrie étudie. Une géométrie est plutôt un système de relations qui peuvent s’appliquer à beaucoup de sortes d’objets.Mais, pour Poincaré, certaines expressions des systèmes géométriques sont par construction des conséquences d’ hypothèses apparentes, c’est-à-dire des conventions (ni vraies, ni fausses), tandis que pour Hilbert les schèmes d’axiomes ne sont par construction ni vrais ni faux. Pour lui, le formalisme mathématique nécessite une métamathématique “finie” pour démontrer la non-contradiction des systèmes formels mathématiques, tandis que l’approche poincaréienne nécessite une norme métamathématique qui équivaut à postuler un universel. Hilbert doit affronter les difficultés que posent les théorèmes de Gödel au concept de non-contradiction, Poincaré doit enrichir de plus en plus l’universel du groupe général présupposé comme préexistant dans notre esprit (Poincaré 1921, p. 62-63).

d. Poincaré, Couturat et Russell

Lorsque Couturat apprend l’apparition de l’ouvrage AnEssay on the Foundations of Geometry de Russell (Russell 1897b), il en écrit un compte rendu (voir Couturat 1898a) — comme Russell l’avait fait dans Mind 6 (Russell 1897a) de la thèse de Couturat, intitulée de l’Infini mathématique (Couturat 1896b). Selon Russell, pour traiter de la géométrie métrique, considérée comme quantitative, il faut d’abord (antériorité logique) définir la géométrie qualitative qui repose sur la notion intellectuelle d’une forme d’extériorité. Russell déduit dans son ouvrage une axiomatique de la géométrie projective à partir de cette forme et montre que les axiomes de cette géométrie « absolue » sont a priori, c’est-à-dire des conditions nécessaires de l’expérience, et les distingue des axiomes propres à la géométrie euclidienne qui, eux, sont des résultats empiriques de la mesure. Russell semble donc être en 1897 plus kantien que Poincaré l’est par rapport à la géométrie : il ne prête pas seulement aux axiomes de la géométrie projective un caractère a priori (bien que non intuitif !), mais il limite, par exemple, aussi les objets de la géométrie métrique à des quantités particulières, fondées sur l’intuition sensible, tandis que Poincaré les considère comme invariants d’un groupe. Selon Couturat, Russell a donné « la plus complète et la plus satisfaisante » philosophie de la géométrie qu’il connaît.

Selon notre thèse de départ, Poincaré donne dans son article, On the Foundations of Geometry, paru en octobre 1898, la version la plus accomplie, philosophiquement et techniquement, de son conventionnalisme. Couturat reçoit les épreuves de cet article qu’il commente à Russell de la manière suivante : « Sa thèse essentielle (que vous connaissez bien) est que les postulats sont des définitions déguisées, et que par suite ils ne sont ni vrais ni faux, ni empiriques, ni a priori. Il combat donc l’apriorité des uns et l’empirisme des autres » (Russell 2001,« Lettre de C. à R. du 30 avril 1899 », p. 108).

En fait, Poincaré réintroduit dans son article la perspective générale kantienne en montrant que les géométries non euclidiennes ne sont ni plus ni moins intuitifs que la géométrie euclidienne. Il précise son approche opératoire en effaçant la dissymétrie philosophique par rapport à l’intuition, introduite par le néo-kantisme et qui s’oppose à la symétrie logico-mathématique entre les différentes géométries. Dépendant de la loi des groupes, l’espace géométrique est conceptuel. Mais le fait que l’espace géométrique n’est pas intuitif, ne signifie pas que sa constitution conceptuelle est dépourvue de toute composante intuitive : cette constitution ne présuppose pas seulement une intuition intellectuelle par rapport à une première structure très générale pré-existante dans notre esprit, mais procède aussi par exemplification intuitive dans l’élaboration de cette structure initiale. Posé en ces termes, il s’agit d’un malentendu catégoriel de rapporter l’intuition à la totalité de l’espace géométrique — qu’il euclidien ou non-euclidien — au lieu de distinguer certains composants intuitifs de sa genèse.

Dans (Nabonnand 2000), on trouve une discussion détaillée du refus, par Poincaré, des thèses de Russell, à savoir que

1° la géométrie projective est entièrement a priori, tandis que la géométrie métrique est en partie empirique ;

2° la géométrie projective est indépendante de l’idée de mouvement, qui est impliquée par la géométrie métrique ;

3° la géométrie projective est qualitative mais la géométrie métrique quantitative (Poincaré 1899, p. 251).

La réfutation de la thèse que la géométrie métrique est en partie empirique est philosophiquement la plus importante. Poincaré n’avance pas seulement l’argument classique, à savoir que l’on ne peut expérimenter sur des objets abstraits (Poincaré 1899, p. 265), mais également une argumentation qui revient à un cas particulier de lathèse de Duhem-Quine (voir Poincaré 1899, pp. 266-267) : toute propriété et toute expérience sont conçues et interprétées dans un contexte théorique, toute expérience porte donc autant sur la propriété qu’elle est censée tester que sur le contexte théorique. Russell commentera en 1923 dans sa préface à l’ouvrage La Géométrie dans le monde sensible de Jean Nicod (Russell 1962), que Poincaré tire d’une vraie prémisse, c’est-à-dire que l’expérience ne peut décider que par rapport à toute une théorie physico-géométrique, la fausse prophétie que la géométrie euclidienne n’aura jamais rien à craindre de l’expérience.

e. Poincaré et Mach

Torretti souligne que Ernst Mach distinguait dès la première édition de son Analyse des sensations, parue en 1886 sous le titre Beiträge zur Analyse der Empfindungen, des propriétés physiologiques et géométriques de l’espace (voir Torretti 1978, pp. 278 sq.).Les propriétés physiologiques sont le point de départ de toute géométrie en ce sens qu’elles donnent « probablement la première motivation pour entreprendre des recherches géométriques » (Mach 1991, pp. 87, 99). Neuf années plus tard, Poincaré introduit dans son article L’espace et la géométrie (Poincaré 1895), reproduit en 1902 dans son recueil La Science et hypothèse, la même distinction qui sera à la base de son essai Foundations of Geometry, publiés en 1898 dans le Monist.

Cependant, Poincaré ne mentionne Mach ni dansScience et hypothèse ni dans les Fondements de la géométrie : il est possible qu’il n’ait pris connaissance des travaux de Mach qu’après leur publication dans le Monist.Mis à part ce fait, les théories des deux savants menant en apparence au même résultat, sont assez différentes : Mach se positionne dans le cadre classique, euclidien, du fondement de la géométrie par le concept de congruence. Celui-ci fut critiqué depuis longtemps par d’Alembert, Schopenhauer et d’autres pour son caractère empirique (voir Volkert 1996, p. 185sq.) : le mouvement est lié à la matière et n’a donc rien à voir avec la géométrie pure. Les fondements de la géométrie ne sont donc conçus dans L’Analyse des sensations que dans le contexte de la découverte, sauf si l’on considère l’applicabilité d’une théorie comme contexte de justification. Dans ce cas, les analyses empirico-physiologiques de Mach répondant à la question « A quoi peut-on imputer le fait que des figures géométriquement semblables le soient aussi optiquement ? » (Mach 1991, p. 101, note ).

L’intérêt de Poincaré ne se situe pas au même niveau. En comparant l’espace géométrique avec l'espace représentatif, sous sa triple forme, visuelle, tactile et motrice, il constate que les deux espaces sont essentiellement différents. En effet, l’espace représentatif « n’est ni homogène, ni isotrope; on ne peut même pas dire qu'il ait trois dimensions » (Poincaré 1902, p. 81). Et cependant, contrairement à Mach, Poincaré ne se contente pas de situer les liens entre les deux espaces dans la genèse psychologique de l’espace géométrique. Conscient, comme l’est Mach, que les représentations ne peuvent se ranger que dans l'espace représentatif et qu’en principe nous nous ne représentons pas les figures en géométrie mais nous raisonnons sur eux, Poincaré essaie de relier les deux espaces par une construction à partir d’un raisonnement sur des représentations de sensations musculaires qu’il considère comme non-spatial.

Il cherche, en d’autres termes, une genèse logique de l’espace géométrique dont la caractéristique essentielle consiste dans le fait qu’elle évite le cercle qu’un empiriste, à l’occurrence Mach, encourt dès qu’il prétend participer à l’entreprise fondatrice à travers le concept de congruence (voir Poincaré 1902, p. 70-71).

Par contre, dans son livre Erkenntnis und Irrtum (Mach 1905), Mach conçoit l’espace représentatif comme l’expression d'une adaptation biologique en vue de « diriger nos mouvements pour notre conservation » (Mach 1908, p. 331 ; Mach 1901, p. 324 ; Mach 1905, p. 342). Cette adaptation biologique conduit directement à la théorie avancée par James, « selon laquelle toute sensation est en partie spatiale » (Mach 1905, p. 341, reprise de Mach 1901, p. 324). Si cette remarque est vraie, elle constitue une objection sérieuse à l’approche de Poincaré. Curieusement, le passage en question est supprimée sans qu’il le soit dit, dans la traduction française de 1908(voir Mach 1908, p. 6 et Paty 1993, p. 247, note 4).

Quoi qu’il en soit, Poincaré et Mach s’intéressent en fait à deux questions bien différentes : Mach donne une analyse de l’espace physiologique tandis que Poincaré veut comprendre l’espace géométrique par une genèse logique dans un esprit de fondement théorique. Pour lui, l’espace représentatif n’est pas formé par une classification à partir de sensations, mais il est, au contraire,en tant que forme de notre entendement la condition nécessaire d’une classification de sensations (Poincaré 1921, p. 3).

Mach entreprend de longues considérations historiques qui commencent avec les égyptiens pour argumenter que les propriétés géométriques classiques de la géométrie théoriquesont obtenues par la schématisation des objets de l’expérience, données dans l’intuition immédiate (Mach 1905, pp. 372, 381) et à l’aide, principalement, de mesures de volume (Mach 1905, p. 380). Dans un processus de schématisation, l’existence des corps approximativement rigides nous suggère une relation de congruence qui est indépendante de la sorte de sensations que nous avons de ces corps (Mach 1905, pp. 357, 382). Et c’est cette suggestion qui contient un élément conventionnel rappelant l’approche de Poincaré :

« Le choix des termes est bien suggéré par des faits, mais accorde à l’arbitraire (Willkür) une certaine marge de manœuvre parce qu’il est basé sur la reconstruction en pensées de ces derniers » (Mach 1905, p. 382-383).

Une réflexion méthodique sur le caractère conventionnel (Willkür) en question est absente chez Mach, mais présente chez Poincaré. Par contre, le problème lockien apparenté du triangle général, donc comment un triangle particulier puisse représenter le triangle général, est résolu par l’application d’une méthode historique : ce n’est pas l’éclair d’esprit d’un individu qui lui apprend comment raisonner sur le singulier d’une manière générale, mais l’apprentissage dans l’histoire : « Des générations entières travaillent pour contrôler la géométrie» (Mach 1905, p. 387).

La différence avec Poincaré ne consiste pas seulement dans le fait que le conventionnalisme de Poincaré constitue une théorie épistémologique de la genèse géométrique, mais la différence est également ontologique : pour Poincaré, localiser un objet dans l’espace signifie de se représenter des séquences de sensations musculaires et non spatiales. Sa définition de relations d’équivalence ne concerne pas les corps rigides mais des sensations non spatiales. Or, nous avons vu que Mach refuse dès 1901 la possibilité de telles sensations.

4. Physique

a. Mécanique

Quant au statut épistémologique des hypothèses en mécanique, Poincaré se positionne par rapport à la dichotomie entre le soi-disant empirisme de l’École anglaise et l’apriorisme de l’École française (Poincaré 1902, p. 111). Les principes de la mécanique ont certes, selon Poincaré, une origine empirique mais ils sortent néanmoins de la limite du contrôle expérimental, sans être a priori au sens classique du terme (Lelièvre 2000, pp. 80, 173). Pour comprendre cette position médiane, il importe de distinguer « ce qui est expérience, raisonnement mathématique, ce qui est convention, ce qui est hypothèse » (Poincaré 1902, p. 111). En fait, l’expérience qui nous conduit au résultat expérimental repose sur la répétition d’un phénomène, et donc sur l’induction physique (Poincaré 1902, p. 26). Toute généralisation étant une hypothèse, une loi ou hypothèse générale est obtenue par le fait que chaque résultat de la physique empirique peut être généralisé de différentes manières et qu’on est bien obligé de corriger l’expérience (Poincaré 1902, pp. 161, 159).

Cependant, les choses ne sont pas toujours si simples. L’hypothèse de la loi d’inertie, par exemple, ne peut être obtenue que par rapport à la catégorie préexistante d’équation différentielle remplaçant ainsi l’induction empirique qui conduit au simple fait expérimental. Ceci constitue l’interprétation du dictum poincaréien que les lois sont « en somme » des équations différentielles (Poincaré 1905, p. 119).

Or, l’analogie et la différence entre l’axiome géométrique en tant que « définition déguisée » et la loi physique en tant qu’hypothèse générale, semblent définir ce qu’on pourrait appeler l’occasionnalisme de Poincaré : en géométrie, les conventions (ou définitions) commodes sont choisies en fonction d’objets (sensations, corps solides, rayons) qui ne sont pas ceux de la géométrie et l’on présuppose la catégorie de groupe de transformation. En mécanique, les conventions sont commodes par rapport aux objets mécaniques eux-mêmes (Poincaré 1902, p. 152) et s’appellent pour cette raison hypothèses. On y présuppose les catégories d’induction empirique et d’équation différentielle. L’occasionnalisme de Poincaré intègre donc des éléments spécifiquement kantiens en éliminant pourtant complètement la composante transcendantale.

Mise à part la différence de taille, à savoir que la géométrie exige une double abstraction conventionnelle, par rapport aux objets et aux lois, Poincaré utilise en mécanique une procédure, que nous connaissons déjà de la géométrie, pour passer des lois empiriques, entendues en tant qu’hypothèses vérifiables, aux principes incluant des éléments explicitement conventionnels :

« Quand une loi a reçu une confirmation suffisante de l’expérience, nous pouvons adopter deux attitudes, ou bien laisser cette loi dans la mêlée ; elle restera soumise alors à une incessante révision qui sans aucun doute finira par démontrer qu’elle n’est qu’approximative. Ou bien on peut l’ériger en principe, en adoptant des conventions telles que la proposition soit certainement vraie. Pour cela on procède toujours de la même manière. La loi primitive énonçait une relation entre deux faits bruts A et B ; on introduit entre ces deux faits bruts un intermédiaire abstrait C, plus ou moins fictif [...]. Et alors nous avons une relation entre A et C que nous pouvons supposer rigoureuse et qui est le principe ; et une autre entre C et B qui reste une loi révisable. Le principe, désormais cristallisé pour ainsi dire, n’est plus soumis au contrôle de l’expérience. Il n’est pas vrai ou faux, il est commode » (Poincaré 1905, p. 165-166).

Ainsi, à première vue, les lignes d’un schème de généralisation en physique se présente de la manière suivante : du phénomène on passe par l’induction physique au résultat expérimental et, grâce aux équations différentielles, aux lois et aux hypothèses générales qui, par décision, peuvent être érigées en principe. Certes, ceci n’est qu’un schème général et le processus concret d’une généralisation peut inclure maintes variations.

Les éléments conventionnels des théories physiques étaient souvent mal compris par les contemporains de Poincaré. Ainsi, par exemple, son affirmation qu’aucune des deux propositions « La terre tourne » et « La terre ne tourne pas » est plus vraie que l’autre « au sens cinématique », n’est pas une réhabilitation du système de Ptolémée, mais la conséquence du fait qu’en physique, la sous-détermination empirique des théories est limitée par des considérations holistes : « Une théorie physique […] est d’autant plus vraie, qu’elle met en évidence plus de rapports vrais », « La terre tourne » a un contenu plus riche exprimé par « l’aplatissement de la terre, la rotation du pendule de Foucault, la giration des cyclones, les vents alizés, que sais-je encore ? » (Poincaré 1905b, p. 184-185).

b. Optique et électrodynamique

En physique proprement dite, c’est-à-dire en optique et en électrodynamique, les éléments conventionnels semblent affaiblis. En effet, dans son introduction à La Science et l’hypothèse, Poincaré présente la quatrième partie de son ouvrage (« La Nature ») en faisant référence à un changement de méthode :Jusqu’à la mécanique le conventionnalisme (nominalisme) triomphe, mais aux sciences physiques proprement dites, « nous rencontrons une autre sorte d’hypothèses » (Poincaré 1902, p. 26.)

Or, Poincaré explicite dans la quatrième partie que ce qui subsiste et reste commun aux différentes théories physiques n’est autre que ce qui se trouve exprimé par les équations différentielles (voir Poincaré 1902, p. 173-174). Mais, vu la crise en physique qui s’annonce autour de 1904 avec la découverte de la relativité, cette position générale ne va pas sans poser problème par rapports aux principes concrets. C’est ce fait qu’a pressenti Poincaré dans son introduction à La Science et l’hypothèse etl’application du principe de relativité à l’électrodynamiquereste un des sujets le plus discutés par les historiens des sciences (voir p. ex. Goldberg 1967, Paty 1993, Miller 1996, Zahar 2001, Darrigol 2004, Rouché 2008, Walter 2011). En mécanique, le principe du mouvement relatif dit que la forme des équations différentielles demeure la même si l’on change les axes de coordonnées, que ces axes restent immobiles ou qu’ils soient mobiles mais « entraînés dans un mouvement rectiligne et uniforme » (Poincaré 1902, p. 130 ; voir aussi Poincaré 1913, pp. 101-102). En utilisant dans sa célèbre conférence de St. Louis (1904) la dénomination de « principe [physique] de relativité », qui ne s’applique pas « aux équations finies directement observées, mais aux équations différentielles » (Poincaré 1913, p. 103), Poincaré rapporte que Lorentz introduit les hypothèses du « temps local » et de la « contraction uniforme dans le sens du mouvement » pour tenter de sauver le principe dans son application au domaine électromagnétique (voir Poincaré 1905, pp. 132 sq.), où il risquait de perdre sa validité universelle. Or, ce fut Poincaré (1906) qui obtint la pleine compatibilité de la théorie de Lorentz avec le principe de relativité (voir Darrigol 2000, p. 150). Nous sommes ainsi, remarque Poincaré, naturellementportés à admettre le postulat de relativité dans tous les domaines (Poincaré 1906, p. 495). Selon cette argumentation, la forme étendue du principe trouve sa cause dans le principe galiléen et sa raison dans la compatibilité avec une théorie qui explique pourquoi aucune expérience n’est susceptible de nous faire connaître le mouvement de la terre par rapport à l’éther. Comme le principe d’inertie, il ne peut être confirmé directement par l’expérience et il n’est même pas directement guidé par elle. Dans la même mesure que la complexité des considérations holistiques s’accroît, le processus d’équilibre entre théorie et expérience se volatilise. Le changement de statut des hypothèses que Poincaré envisageait a l’air d’être l’expression d’un sentiment résigné de fin d’époque et son appel à découvrir néanmoins les invariants de la « vraie réalité » sonne comme un cri après avoir été chassé du paradis (voir Poincaré 1902, p. 183).

Le modèle d’explication de Poincaré, fondé sur un minimum d’hypothèses bien confirmées (directement ou indirectement par le moyen de fictions) et desquelles toutes les propositions significatives peuvent se déduire, est mis en question par l’approche de Maxwell (Poincaré 1902, p. 218). Les hypothèses de Maxwell étaient des hypothèses initiales « hardies », confirmées seulement « au bout de vingt ans » (Poincaré 1902, p. 239). Bien que lui-même hautement impliqué dans ce changement méthodologique, il n’était jamais satisfait ni de sa propre théorie ni de celle de Lorentz, les deux contenant trop d’hypothèses ad hoc, nécessaires à la cohérence de la théorie mais inaptes à faire des prédictions empiriques (voir Zahar 2001, p. 17).

En fait, il existe maintenant deux principes de relativité : l’ancien, qui a été mis à l'abri de la révision en la considérant comme un principe conventionnel et qui sert à construire l’espace géométrique à travers le groupe de transformation qui est l'expression mathématique du principe psychologique de la mobilité libre de corps « rigides », et le nouveau, où l’invariance concerne les équations différentielles et où la géométrie pourrait maintenant être enracinée dans le groupe de Lorentz au prix d’accepter un espace-temps à quatre dimensions avec métrique indéfinie (voir Gray 2012, p. 111 and Walter 2009). Il semble donc que la vieille construction conventionnelle de Poincaré, selon laquelle il préfère la géométrie euclidienne sur la base des considérations de simplicité et de commodité, doit être replacée par une nouvelle convention sur l’espace-temps. Cependant, Poincaré n’abandonne jamais l’espace et le temps galiléens, mais il est douteux qu’avant 1912 le principe de la relativité restreinte avec la covariance de Lorentz (au lieu de la covariance galiléenne) était assez confirmé pour être inattaquable par l’expérience et rendre infirme le principe avec covariance galiléenne (Walter 2009). Cette situation est ce que Larry Sklar appelle une «sous-détermination passagère» :on dispose de différentes « théories qui ne sont pas empiriquement équivalentes mais qui sont également (ou du moins raisonnablement) confirmées par toutes les informations que nous avons en main à ce moment »(Stanford 2009 and Sklar 1975, p. 380)et on attend à prendre une décision face à de nouveaux résultats.

Contrairement à Einstein, Poincaré tient toujours à un équilibre interdépendant entre théorie et expérience. Pour Poincaré, la nouvelle théorie d’Einstein n’est que l’expression de l’introduction d’une nouvelle convention. Il voit bien que le résultat qu’elle implique est jugé par certains plus commode, mais ceci ne l’incite pas à abandonner l’ancienne convention qui est loin d’être arbitraire. Doit-on lui reprocher le fait qu’il souligne trop la commodité de l’aspect géométrique du système(voir Stegmüller 1970,p. 162) en négligeant la nouvelle convention, puisque l’espace et le temps n’y sont plus deux entités entièrement distinctes ? En fait, pour Poincaré l’élément décisif est plutôt le critère pragmatique de la fécondité. Par rapport à celui-ci, la nouvelle théorie de la relativité ne possède un avantage net que dans sa version générale, publiée bien après la mort de Poincaré : le concept géométrique, au sens de Helmholtz-Lie-Poincaré (constance de la courbure), y est définitivement abandonné.

5. Arithmétique

a. Itération indéfini

Nous avons vu que Poincaré caractérise le conventionnalisme en géométrie et son extension en physique par une double relation qui lie ces théories à l'expérience : celle-ci est d’une part l’occasion qui nous fait prendre conscience, si non d’une catégorie préexistante de l’esprit, au moins de la possibilité d’introduire des conventions qui transforment des lois en principes ; l’expérience sert d’autre part d’occasion pour tester les normes ainsi fixées. Ce double rôle que joue l’expérience dans la constitution des conventions nous a justifié d’appeler la position de Poincaré “occasionnalisme”. Quelle forme prend cet occasionnalisme en arithmétiques qui semble pourtant être basée sur l’intuition ?

En effet, pour Poincaré, l’intuition est épistémiquement nécessaire en arithmétiquepour justifier le principe de récurrence, appelé par lui l’induction complète, fondée sur l’itération indéfinie. Selon Poincaré, sa certitude provient du fait :

(*) « qu’il n’est que l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible » (Poincaré 1902, p. 41, souligné par G. H.).

Dans son compte-rendu de La science et l’hypothèse, (Russell 1905, p. 413) remarque que la puissance de l’esprit nécessaire devrait consister dans la capacité d’ajouter I à un chiffrequelconque. Or, « se savoir capable » de la répétition successive signifie de passer de la répétition successive à l’itération indéfinie, fait qui est exprimé par le schéma pragmatique R :

R : a) [on peut construire I]

b) [si n, on peut construire nI]

Cette faculté de répétition indéfinie, peut-on dire avec Poincaré, est elle-même suggérée par l’expérience que l’on possède dans le maniement de symboles concrets, à savoir de pouvoir ajouter I à I : II ; I à II : III ; I à III : IIII et ainsi de suite tant que l’expérience le confirme (sans utilisation du paramètre schématique n) :

« Nous avons la faculté de concevoir qu’une unité peut être ajoutée à une collection d’unités ; c’est grâce à l’expérience que nous avons l’occasion d'exercer cette faculté et que nous en prenons conscience » (Poincaré 1902, p. 53, souligné par G.H.).

En d’autres termes, le schème de l’itération indéfinie est ‘occasionné’ par l’expérience d’un apprentissage sans être empirique. Pour franchir l’abîme entre la répétition empirique et la répétition schématique R, l'intuition pure est nécessaire :

« L’esprit a de cette puissance [de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible] une intuition directe et l’expérience ne peut être pour lui qu’une occasion de s’en servir et par là d’en prendre conscience » (Poincaré 1902, p. 41, souligné par G.H.).

Une “vraie”intuition pure est distinguée d’une simple évidence par le fait qu’elle réfère à ce que l’on peut faire à la place de ce qui existe. En ce sens, l’intuition pure n’est pas dirigée vers le même objet que l’intuition sensible ou l’imagination (voir Poincaré 1905, p. 39). En tant que conscience d’une capacité de l’esprit elle est intellectuelle et l’expérience nous donne l’occasion d’utiliser cette capacité. Bien que cette intuition soit occasionnée par l’expérience, elle se rapporte au schème d’action Rqui est a priori parce qu’il est le résultat de notre propre créativité. On pourrait sans aucun doute considérer le schémaR comme synthétique, parce que lui-même fondé sur une intuition, mais il ne s’agit évidemment pas encore de l’induction complète traduite dans le langage des traits. En effet, il manque l’élément essentiel, c’est-à-dire la clause finale disant :

c) on peut obtenir tous les chiffres par l’application du schéma R.

b. Principe de l’induction complète

On constate que R constitue une affirmation sur un processus synthétique, c’est-à-dire un processus qui ne décrit pas seulement des objets mais lesconstitue.Cependant, le fait d’avoir à sa disposition un schème de construction n’est pas suffisant. Pour obtenir le schème de l’induction complète, il faut encore s’assurer que tout chiffre se laisse construire par le schème (c) en question (voir Heinzmann 2013, p. 121 sq.). L’induction contient, dit Poincaré, condensée, pour ainsi dire, dans une seule formule une infinité de syllogismes, c’est-à-dire une infinité d’applications du modus ponens(Poincaré 1902, p. 39). Ceci constitue l’élément essentiel de la synthéticité du principe.

Le principe de l’induction complète n’est donc ni une hypothèse ni une convention. La compréhension de sa genèse, occasionnée par l’expérience, ressemble à la compréhension de la genèse des axiomes de la géométrie. Le principe est a priori, mais connaissable seulement par construction : synthétique, il peut être appelé semi-intuitif (voir Heyting 1934, p. 4-5).

Dans sa fonction comme moyen de preuve en mathématique le principe de l’induction complète s’approche du principe de l’induction empirique. On peut, en effet, constater une analogie fonctionnelle et structurelle :

• fonctionnelle,dans la mesure où les deux principes sont des moyens auxiliaires en mathématiques et en physiques, suggérés par l’expérience et pourtant inaccessibles à l’expérience.
• structurelle,dans la mesure où les deux principes nous permettent de passer du particulier à l’universel en s’appuyant sur l’intuition pure de la répétition indéfini.

La différencedes deux principes consiste dans le fait qu’en physique le principe est incertaine parce qu’il « repose sur la croyance à un ordre général de l’Univers, ordre qui est en dehors de nous », tandis qu’en mathématique le principe « s’impose au contraire nécessairement parce qu’il n’est que l’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-même » (Poincaré 1902, p. 42).

Il nous reste à mentionner deux éléments importants pour la compréhension de l’approche poincaréienne de l’arithmétique :

(i) Le concept de répétition, intervenant dans les deux principes, joue selon Poincaré un rôle tout à fait essentiel dans la construction des sciences :

Elle sert à

• la construction des nombres entiers et réels  (Poincaré 1902, p. 53) ;
• l’obtention de l’homogénéité des axiomes de groupe  (Poincaré 1902, p. 88) ;
• Au calcul différentiel ainsi qu’aux généralisations d’hypothèses physiques grâce aux mathématiques (Poincaré 1902, p. 171-172).

(ii) Pour Poincaré, il est inadmissible de remplacer l’axiome intuitif de l’induction complète par une définition explicite, parce qu’une telle définition serait nécessairement non-prédicative (cf. Section 5°). Or, il considérait les définitions non-prédicatives comme responsables de l’antinomie de Russell. Il refusait également la possibilité de considérer l’induction complète comme un des schèmes formels d’axiomes quidéfinissent les nombres entiers. Une telle position induirait selon lui une petitio principii, puisque la nécessaire démonstration de non-contradiction d’un tel système d’axiomes exigerait à nouveau l’induction complèteà un niveau supérieur.

Où en sommes-nous aujourd’hui ? Il est difficile à dire quelle approche des nombres naturelles est à préférer : tout dépendra des prémisses philosophiques choisies, par exemple si l’on adopte un point de vue constructif ou/et si l’on voit dans la distinction entre mathématiques et métamathématiques non seulement un moyen technique suffisant pour éviter une circularité dans les preuves de non-contradiction de l’arithmétique, mais également un moyen philosophique pour comprendre la structure des nombres. En ce qui concerne finalement la question s’il faut introduire pour la justification de l’arithmétique l’intuition, elle est toujours ouverte. En effet, comment peut-on exclure des modèles non standard de l’arithmétique, c’est-à-dire les modèles du système d’axiomes qui ne sont pas isomorphes à la progression habituelle des nombres ? N’a-t-on pas proposé à ce but différentes méthodes, fondées sur des considérations computationnelles, sur les «  mathématiques à rebours (reverse) », sur l’introduction de contraintes opérationnelles ou sur la logique de second ordre qui n’autorise pas seulement de quantifier sur les ‘individus’ mais également sur les ensemblesd’individus ? Les solutions computationnelles proposées pour ajouter au système arithmétique PA du premier ordre une condition supplémentaire restreignant l’interprétation de l’addition et de la multiplication afin d’obtenir un modèle attendu de l’arithmétique de Peano du premier ordre, semblent présupposer dans la métalangue un mécanisme de codage arithmétique. La valeur épistémique d’une telle entreprise technique est donc menacée. La solution de passer au second ordre est la plus répondue, bien que l’on puisse se demander si, en repoussant ainsi le problème philosophique vers les questions concernant la relation entre logique et théorie des ensembles, on ne commet pas un hysteron-proteron méthodique, du moins s’il s’avère qu’il existe d’autres solutions impliquant un engagement ontologique plus faible : postuler dans l’esprit de Poincaré une intuition assez forte pour inclure dans la définition itérative des nombres la clause finale excluant évidemment un modèle non-standard.

6. Logique et théorie des ensembles

a. Logique, psychologie et intuition

On a souvent incriminé les mathématiciens et les philosophes français du XXe siècle d’une certaine résistance à la logique mathématique. Parmi les raisons invoquées, on trouve les polémiques de Poincaré qui, de par son autorité mathématique, ridiculise la nouvelle logique (Russell, Peano, Couturat) et les fondements ensemblistes (Cantor, Zermelo) ou « formalistes » des mathématiques (Hilbert). Il y a là une part de vérité, mais une part seulement. Il fallait que Hintikka applique sa logique « faite pour l’indépendance » ou logique IF, utilisant une autre quantification que celle que l’on connaît de la logique des prédicats, au concept du cercle vicieux pour mieux comprendre l’attitude de Poincaré face aux antinomies logiques (voir Hintikka 2012). Il fallait également presque une centaine d’année pour comprendre que l’argument principal de Poincaré contre la nouvelle logique ne consiste pas dans le fait qu’il peine à s’imaginer que le raisonnement mathématique se laisse transformer en raisonnement logique, mais dans le fait qu’il constate qu’une telle transposition serait dépourvue des valeurs épistémiques nécessaires à la compréhension mathématiques.

Selon Philippe Jourdain, Poincaré est sans aucun doute un des plus grand mathématicien mais en ce qui concerne la philosophie et la logique mathématique il personnalise le fait qu'un grand mathématicien n’est ni nécessairement un grand philosophe ni un grand logicien (Jourdain 1912, p. 482). La longueur de cet article était nécessaire pour montrer que Poincaré était néanmoins un grand philosophe. Les polémiques de Poincaré contre la « nouvelle » logique ont par contre une forme outrancière lorsqu’il compare les logiciens à une machine « où les porcs entrent vivants et d’où ils sortent transformés en jambons et en saucisses. Pas plus que ces machines, le mathématicien n’a besoin de comprendre ce qu’il fait » (Poincaré 1908, p. 157).

Dans sonarticle Sur la nature du raisonnement mathématique, d’abord paru en1894 et ensuite publié en1902 commepremier chapitre deLa Science et l’hypothèse,Poincarédiscutele dilemme suivant :d’une part, les mathématiques sont une science exacte, c’est-à-dire ses preuves sont rigoureuses, donc en apparence analytiques ; d’autre part, dans les preuves mathématiques les conclusions sont souvent une extension de la connaissance exprimée dans les prémisses.

La solution de Poincaré s’oppose à la thèse des logiciens qui prétendent pouvoir démontrer, une fois admis les principes de la logique, toutes les vérités mathématiques sans recours à l’intuition. Contrairement à la tradition algébriste allant de John Wallis et de George Peacock à Hilbert, Poincaré insiste sur la non-invariance du raisonnement mathématique par rapport à son contenu et avance, pour ainsi dire, une conception locale du raisonnement selon laquelle « une ‘lacune’ n’est plus une lacune logique, mais plutôt une lacune dans la compréhension mathématique » (Detlefsen 1992, pp. 366, 360) et, en tant que tel, une lacune qui ne peut pas être éliminée grâce à une formalisation. « Ainsi, le raisonnement mathématique ne doit plus être conçu comme un rapport primairement logique entre propositions, mais plutôt comme un rapport épistémique entre jugements » (Detlefsen 1993, p. 270). L’argument intéressant de Poincaré contre le logicisme n’est donc ni tellement la conjecture qu’il n’existe pas une transposition purement logique de chaque raisonnement mathématique ni la thèse que l’arithmétique est irréductible à la logique, mais l’affirmation que la transposition ou la réduction seraient dépourvues des valeurs épistémiques nécessaires à la compréhension du raisonnement mathématique (Detlefsen 1993, p. 268). Quant à la conjecture d’une transposition logique de tout raisonnement, Poincaré suspecte que les logiciens font en vérité une utilisation équivoque du terme logique, qu’ils ne visent plus l’ancienne, mais une « nouvelle logique » contenant des principes de démonstration synthétiques ou des formations de concepts non logiques. Et il a évidemment raison. Non seulement la logique moderne des prédicats est plus riche que la logique traditionnelle (la syllogistique), mais pour faire face à l’idée de réductionnisme, on est même conduit à l’élargir encore par certains postulats ensemblistes d’existence.

Ainsi, la polémique de Poincaré ne doit pas nous dispenser de regarder de près sa position sur la logique au sens large, c’est-à-dire incluant la théorie des ensembles. Il connaissait les travaux de Georg Cantor par Gösta Mittag-Leffler et il les utilise dans sa théorie des fonctions fuchsiennes dès 1882 (Poincaré 1882, p. 1167). Il était impliqué dans la traduction française de certains mémoires de Cantor sur la théorie des ensembles publiés tous en 1883 dans lesActa Mathematica2(pp. 311-408). Bien plus encore, lorsque Poincaré était, en 1885, secrétaire de la Société mathématique de France, récemment fondée, il a saisi l’opportunité de proposer Cantor comme membre de cette société (Gray 1991, p. 22). Il avait d’ailleurs rencontré Cantor en 1884 à Paris et lui a rendu visite en mai 1895 à Halle (Cantor 1991, p.188 et Décaillot 2008, p. 281).

Cependant, dans une discussion avec Russell, Poincaré semble confondre psychologie et logique. A nouveau les choses ne sont pas si simples.Tout d’abord, il faut évidemment prendre conscience de l’ambiguïté du terme “logique” : en tant qu'ars iudicandi (l’art de justification) il signifie la syllogistique, comme ars inveniendi (l’art de l’invention) la psychologie de l’invention, il désigne la logique formelle, la théorie axiomatique des ensembles de Zermelo ou la topologie des ensemble de points de Cantor. C’est à travers ces homonymies que s’expliquent des affirmations en apparence contradictoires d’Alexandre Aleksandrov et d’Abraham A. Fraenkel, (voir Dugac 1984, 65, 80) : Le premier écrit « que Poincaré fut le premier mathématicien qui comprit aussi bien l’importance que la fécondité des théories de Cantor pour l’analyse mathématique et donc pour toutes les mathématiques» (Alexandrov 1983, p. 250/251), le second note que l’attitude de Poincaré était “typique” du changement de la position des mathématiciens qui avaient commencé par accepter les théories cantoriennes et qui, après la découverte des antinomies de la théorie des ensembles, accueillirent les projets pour une « réhabilitation » de cette théorie avec « un air de moquerie » (Fraenkel et al. 1984, p. 3). Tandis que le premier jugement concerne la logique en tant que méthode logico-ensembliste appliquée à des problèmes mathématiques comme la théorie des fonctions, le deuxième jugement concerne la “logique” en tant qu’outil de formalisation et de domaine d’une cardinalité infinie actuelle :

« Il n’y a pas d’infini actuel ; les Cantoriens l’ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction. Il est vrai que le Cantorisme a rendu des services, mais c’était quand on l’appliquait à un vrai problème, dont les termes étaient nettement définis, et alors on pouvait marcher sans crainte. Les logisticiens l’ont oublié comme les Cantoriens » (Poincaré 1908, p. 212/213).

Retenons que sa critique n’aveugle pas le jugement de Poincaré concernant les travaux de Ernst Zermelo : malgré ses fortes réserves sur la théorie axiomatique des ensembles, la correspondance nous montre qu’il soutient la publication du célèbre article de Zermelo Sur les ensembles finis et le principe d’induction complète auprès de son ami Mittag-Leffler qui le fait paraître dans les Acta Mathematica (Zermelo 1909).

Depuis la Grèce antique, on entend sous le terme“mathemata”des objets non empiriques et susceptibles d’être compris dans un processus d’apprentissage (Snell 1924, pp. 76-80). Or, Poincaré insiste sur le fait que l’enseignement et l’apprentissage en mathématiques ont nécessairement recours à l’intuition et au raisonnement par analogie (Folina 1996, p. 42).Les mêmes capacités sont également indispensables pour créer des faits nouveaux en mathématiques. Ainsi, on peut concéder que la notion d’intuition concerne la psychologie de la pensée mathématique. Or, une fois admise la distinction entre le contexte d’apprentissage et d’invention, d’une part, et le contexte de justification d’autre part, on pourrait donc penser que Poincaré néglige la logique mathématique parce qu’elle ne fournit pas d’explication psychologique au processus d’invention et d’apprentissage. Puisque les logicistes sont exclusivement concernés par la justification, Poincaré et les logicistes semblent donc poursuivre des objectifs fort différents (voir Goldfarb 1988, p. 64).

Cette interprétation fut déjà avancée, en 1913, par Pierre Boutroux en faveur de Poincaré (voir Boutroux 1914, p. 255-256).Selon Boutroux, Poincaré traite de la question psychologique de l’invention et celle-ci échappe à toute analyse logique. Selon Couturat, le seul fait de vouloir opposer la logique de la démonstration à la logique de l’invention est déjà illusoire parce que cette dernière n’existe pas : « la logique qui démontre reste [...] la seule logique possible. En dehors d’elle, on ne peut que faire la psychologie de l’invention » (Couturat 1913, p. 265).Accepter avec Brouwer le psychologisme ou dénoncer avec Goldfarb une confusion de catégories semble dorénavant la seule manière d'interpréter Poincaré.

Cependant, celui-ci ne souhaite pas distinguer entre logique et psychologie. Ainsi en 1909, il clôt un débat avec Russell en ces termes :

« M. Russell me dira sans doute qu’il ne s’agit pas de psychologie, mais de logique et d’épistémologie; et moi, je serai conduit à répondre qu’il n’y a pas de logique et d’épistémologie indépendantes de la psychologie; cette profession de foi clora probablement la discussion parce qu’elle mettra en évidence une irrémédiable divergence de vues » (Poincaré 1909, p. 482).

A vrai dire, l’usage que fait Poincaré du mot “psychologie” ne permet pas de réduire la signification de ce dernier au sens usuel. Il appelle une réflexion “psychologique” dès qu’une dimension de compréhension se trouve impliquée ou dès qu’une genèse — « indispensable pour l’intelligence complète d’une science » — est opposée à l’exposition logiquement correcte d’un résultat sans que son développement logique soit pris en compte (Poincaré 1902, p. 153). En d’autres termes, l’expression“psychologique” concerne ici la question épistémologique du développement d'un standard de clarté concernant les présuppositions conceptuelles d’une démonstration ou d’une théorie. Ainsi, le refus de Poincaré de distinguer la psychologie de la logique et de l’épistémologie ne signifie pas qu’il confond la question quid iuriset la question quid facti, c’est-à-dire ce qui est de droit et ce qui est de fait ; il ne signifie pas non plus qu’il se limite aux faits psychologiques mais il exprime au contraire l’exigence philosophique de supplémenter l’exposition systématique des résultats scientifiques par une enquête épistémologique (= “psychologiques”).

Ainsi, il devient davantage plausible que, pour Poincaré, l’intuition soit nécessaire en mathématique non seulement dans le contexte de l’invention mais également dans le contexte de la justification.Contrairement à ce que le passage souvent cité : « La logique qui peut seule donner la certitude est l’instrument de la démonstration : l’intuition est l’instrument de l’invention » (Poincaré 1905, p. 37 ; Poincaré 1908, p. 130) pourrait faire croire, la logique n’est ni le seul moyen pour atteindre une certitude ni en dehors du champ de l’intuition. La déclaration en question constituait seulement un résumé d’une discussion à propos de la distinction entre l’intuition sensible et de procédures analytiques. Une démonstration analytique, appelée par Poincaré une vérification, se fonde sur le syllogisme, la substitution, la définition nominale et les transformations algébriques. Elle n’est pas (encore) mathématique, puisque le procédé d’inférence est constructif au sens de combinatoire. L’intuition pure donne également la certitude et permet de démontrer et non seulement d’inventer (Poincaré 1905, p. 39). Poincaré attribue explicitement la certitude des règles logiques (analytiques) et de l’induction complète à l’intuition (Poincaré 1905, p. 32/33).

b. Définition d’un ensemble

Selon Poincaré, les antinomies découvertes au tournant du siècle — à l’image des paradoxes, dits de Russell ou de Richard — sont la conséquence d’un usage abusif de l’intuition à l’égard des entités abstraites. Et cet usage abusif est lui-même suggéré par la méthode erronée du réalisme conceptuel (platonisme).

Il y a d’après Poincaré deux formes de définitions directes d’un ensemble. L’une correspond au point de vue de l’extension, c’est-à-dire, selon Poincaré, au « nominalisme » : une collection se constitue par l’adjonction de nouveaux membres ; l’autre correspond au point de vue de la compréhension, au réalisme conceptuel des « cantoriens » : les objets, distincts seulement par leur nombre, préexistent comme collection à leur classification. La position « pragmatiste » de Poincaré reflète une conciliation de ces méthodes, semblable au conceptualisme traditionnel. Une définition formée selon la méthode “inverse” des cantoriens peut être “corrigée” en la complétant par une deuxième partie qui ajoute un complément « pragmatique » à l’hypostase d’une entité abstraite. Pour le pragmatiste, un objet « n’existe que quand il est pensé [...] par un sujet pensant » (Poincaré 1913, p. 94)et « quand il est susceptible d’être défini en un nombre fini de mots » (Poincaré 1910a, p. 231). Relevons que si Poincaré semble avoir repris cette formule de Henri Lebesgue et d’Emile Borel, il se distingue des deux : pour lui, l’exigence d’être définissable en un nombre fini de mots n’est pas suffisante si la définissabilité est dissociée de la construction des individus (voir Poincaré 1909, p. 224 et Borel 1898). Il semble alors cohérent de dire que la définissabilité en un nombre fini de mots doit être lue comme un gage de constructibilité finie. Brouwer se distingue évidemment à cet égard de Poincaré parce qu’il refuse au langage ce rôle de critère nécessaire pour la constructibilité (voir Brouwer 1912, p. 128].Il est maintenant évident pourquoi l’existence formelle de l’infini actuel est pour Poincaré inconcevable. La définition d’un ensemble infini au sens actuel dans une même formule comportant un nombre fini de mots est impossible (voir Poincaré 1909a, p. 224).

Poincaré espère éviter les antinomies connues en se limitant aux définitions prédicatives (voir Heinzmann 1985). C’est Russell qui a introduit les termes “prédicative” et “non-prédicatif” pour fixer la différence entre deux sortes de fonctions propositionnelles : celles qui déterminent et celles qui ne déterminent pas une classe. Il appelle les premières « prédicatives » et les secondes « non-prédicatives ». Pour Poincaré, les définitions non prédicatives sont une forme de cercle vicieux : Une définition par postulat d’un ensemble est non-prédicative si elle contient « une relation entre l’objet à définir et tous les individus d’un genre dont l’objet à définir est supposé faire lui-même partie (ou bien sont supposés faire partie des êtres qui ne peuvent être eux-mêmes définis que par l’objet à définir) » (Poincaré 1912, p. 311). Le fait que les solutions prédicatives des antinomies éliminent également les antinomies « linguistiques » (Peano), leur donnait aux yeux de Russell et de Poincaré une supériorité intrinsèque.

Prenons l’exemple de l’antinomie de Richard : Examinons tous les nombres décimaux qui peuvent être définis à l’aide d’un nombre fini de mots. Ces nombres décimaux forment un ensemble E, et il est facile de voir que cet ensemble est dénombrable, c’est-à-dire, il est possible de numéroter les nombres décimaux de cet ensemble de un au premier ordinal infini.Poincaré souligne ensuite comment, en référence à E, nous pouvons définir un nombre décimal N qui n’est pas dans E. N est donc définissable en un nombre fini de mot et impossible à définir, car il n’appartient pas à l’ensemble E contenant tous les nombres définissables en un nombre fini de mots. Il formule un principe pour éviter ce cercle qui mène au célèbre principe de Russell. Ce principe est célèbre puisque Russell a réussi à développer une théorie qui le respecte : la théorie ramifiée des types. Chez Poincaré on ne trouve rien de comparable : il croit que ses précautions “intuitives” le met à l’abri des défauts de définition et ne prend la question de la prédicativité vraiment au sérieux que lorsqu’il apprend par Zermelo que la preuve, par Cauchy, du “théorème fondamental” de l’algèbre (selon lequel, dans les nombres complexes, une équation algébrique F=0 a toujours une racine) fait justement appel aux définitions non-prédicatives rejetées, donc seulement lorsque les mesures prises contre les antinomies logiques affectent les « vraies mathématiques » (Poincaré 1909a, p. 199). La discussion entre Poincaré, Russell, Peano et Zermelo sur les mesures à prendre se prolonge alors pendant six ans. La difficulté est de formuler un principe qui ne soit ni trop restrictif pour les résultats importants en Analyse, ni trop libéral à l’égard des formations de concept rejetées par la position philosophique de Poincaré (voir Heinzmann 1985).

Bref, selon Poincaré, les définitions non-prédicatives sont défectueuses parce que le prédicat impliqué n’obéit pas au principe de bivalence à cause d’un phénomène d’information partielle : la classification est changée par l’introduction de nouveaux éléments. Mais les restrictions prédicatives inventées par Poincaré sont trop “fortes” et excluent même l’arithmétique élémentaire, de sorte qu’il faut regarder « le principe d’induction comme un jugement synthétique et non pas comme une définition, parce que cette définition serait « non-prédicative » (Poincaré 1906a, p. 314).

En résumé, afin que la position prédicative de Poincaré soit applicable à une partie signifiante des mathématiques, il faut l’étendre d’une manière ad hoc, mi constructive obéissant au prédicativisme, mi classique en postulant des principes synthétiques a priori. En ce sens, Poincaré est semi-intuitionniste ou, mieux, semi-constructiviste : l’expérience des mathématiques l’oblige d’accepter par décision des principes nécessaires pour éviter un révisionnisme en mathématiques. En effet, et contrairement à ce que croit Brouwer, pour Poincaré l’intuition des principes en question n’est point indépendante de l’expérience et du langage.

L’attitude de Poincaré vers la logique au sens strict est réservée. Pour le raisonnement mathématique, la syllogistique est sans intérêt et la logique formelle standard, si elle n’engendre pas des antinomies, ne permet pas de comprendre les démonstrations dont elle est, dans le meilleur de cas qu’une transposition rigoureuse. Le fait que Poincaré renonce à un instrument invariant de raisonnement mathématique entraîne une ambiguïté sémiotique qui, par ses successeurs, a été critiquée pour son manque apparent de rigueur et qui, à présent reflète bien le pluralisme logique.

7. Bibliographie

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Ressources multimedia sur Poincaré : http://henri-poincare.ahp-numerique.fr/

Je remercie chaleureusement mon collègue et ami Roger Pouivet pour une relecture critique d’une version antérieure de ce texte. Elle m’a conduit à maintes améliorations.

Gerhard Heinzmann

Archives Henri-Poincaré (Université de Lorraine/CNRS)

gerhard.heinzmann@univ-lorraine.fr