La philosophie de A à Z

Résumé

La tradition philosophique a retenu sous le mot de « syllogisme » une forme spécifique d’argument à deux prémisses et trois termes. Ce faisant, elle a occulté l’ambition d’Aristote : donner une théorie générale du raisonnement déductif. Dans ses Premiers Analytiques, il soutient que chaque fois qu’une conclusion s’ensuit nécessairement de prémisses données, alors il doit exister un cheminement déductif allant des prémisses à la conclusion dont chaque étape soit une inférence simple et immédiatement évidente. A l’inverse, si une proposition ne s’ensuit pas nécessairement des prémisses, Aristote soutient qu’on peut le montrer en exhibant un contre-exemple constitué de termes concrets.

Pour asseoir ce programme général, Aristote élabore une théorie spéciale traditionnellement désignée sous le nom de « syllogistique ». Cette théorie constitue le premier système de logique formelle et concerne un cas élémentaire de raisonnement déductif – le syllogisme – qui comprend exactement deux propositions dites catégoriques comme prémisses et une proposition catégorique comme conclusion. Aristote montre que tous les syllogismes possibles se ramènent à un petit nombre de formes, elles-mêmes réductibles à quelques règles d’inférence formelles dont le caractère contraignant relève de l’évidence. Ce travail accompli, Aristote tente de démontrer que chaque fois qu’une conclusion s’ensuit nécessairement d’un nombre quelconque de prémisses, alors on peut relier ces prémisses à la conclusion par une chaîne de syllogismes.

Depuis l’Antiquité, la syllogistique a été l’objet d’une multitude de commentaires et de développements, qui constituent l’essentiel de la logique dite traditionnelle. Dans le sillage de Boole, de Frege et de Peirce, les logiciens modernes se sont souvent situés en opposition à cette doctrine. De récents travaux en histoire de la logique ont cependant montré qu’une attention renouvelée à l’œuvre du Stagirite met en évidence une proximité frappante entre le projet original d’Aristote et la logique d’aujourd’hui. C’est cette perspective sur le syllogisme et la syllogistique que nous privilégions dans cette article.

Table des matières

1. Syllogisme et sullogismos

2. Les propositions

a. Termes, quantité et qualité

b. Les oppositions

c. La portée existentielle

3. La syllogistique

a. Le langage de la syllogistique

b. Les figures et les modes

c. La réduction des syllogismes imparfaits aux syllogismes parfaits

i. La conversion

ii. La réduction à l’impossible

iii. L’ecthèse

d. La réfutation des modes non concluants

4. Réflexions systématiques

a. Une économie de moyens

b. « Complétude » de la syllogistique

5. Aperçu de la syllogistique modale

6. Syllogisme et démonstration

Bibliographie


1. Syllogisme et syllogismos

On désigne traditionnellement par le mot de « syllogisme » une forme tout à fait spécifique de raisonnement dont l’étude prend sa source dans l’Organon d’Aristote. Le syllogisme est usuellement décrit comme cette forme d’argument contraignant qui comprend deux prémisses articulant deux termes à un troisième et qui conduit à une conclusion liant les deux premiers. L’exemple le plus couramment invoqué du syllogisme entendu en ce sens est donné par le fameux :

Tout homme est mortel.

Or, Socrate est un homme.

Donc Socrate est mortel.

On reconnait dans cet exemple trois énoncés assertifs. Les deux premiers sont les prémisses du syllogisme. Ils articulent deux termes, « Socrate » et « mortel », qualifiés respectivement de petit et grand termes (ou de termes extrêmes), à un troisième terme, « homme », le moyen terme, commun aux deux prémisses. Le troisième énoncé assertif est la conclusion. Celle-ci lie les extrêmes et ne contient donc pas le moyen terme. Enfin, les mots « or » et « donc » ont pour but d’indiquer que celui qui admet conjointement les deux prémisses est contraint d’admettre également la conclusion.

A cette description, il convient d’ajouter que la force contraignante d’un tel argument ne relève pas de son contenu – à savoir le fait qu’il est ici question du célèbre philosophe d’Athènes, de son appartenance à l’humanité et de la finitude de son existence – mais de sa forme. Ainsi, ce que cet exemple illustre, c’est le caractère également contraignant de tout argument respectant le schéma suivant :

Tout A est B.

Or, c est un A.

Donc c est B.

A, B et c indiquent les places que peuvent occuper des termes quelconques (généraux dans les cas de A et B, singulier dans le cas de c).

La syllogistique est l’étude visant à dégager l’ensemble des formes contraignantes de ce type d’arguments à deux prémisses. Exposée par Aristote, dans le traité des Premiers Analytiques, la syllogistique est le premier système de logique formelle connu. L’influence considérable que ce système a exercée sur les développements historiques de la pensée occidentale ne fut pas aussi immédiate qu’on ne le pense souvent. Il est notoire que les élaborations qui menèrent à la somme mathématique des Eléments d’Euclide présentent une indéniable dimension logique, indépendante de l’aristotélisme. De plus, durant l’époque hellénistique le développement de la logique des Stoïciens et en particulier celui d’une logique propositionnelle par Chrysippe fournit à la pensée grecque un sérieux concurrent de la logique d’Aristote. L’influence de la syllogistique ne devient réellement dominante qu’avec les commentateurs plus tardifs du Stagirite, parmi lesquels Alexandre d’Aphrodise. Alors que l’œuvre de Chrysippe tombe dans un large oubli, c’est la logique aristotélicienne qui parvient à l’occident médiéval, en grande partie par l’entremise des penseurs arabes.

L’histoire de la syllogistique s’étend donc sur les nombreux siècles qui vont de l’Antiquité classique à la modernité ; elle est jalonnée par une multitude de commentaires, d’interprétations et de compléments raffinés, mais parfois aussi d’errances, qui ont pu dénaturer le projet initial d’Aristote. Cette somme de divers développements conduira à ce que l’on nomme aujourd’hui la syllogistique et à cet ensemble doctrinal qui constitue la logique dite traditionnelle.

Avec G. Boole, G. Frege, C. S. Peirce ou encore B. Russell, la nouvelle logique visait en particulier un dépassement des limitations de cette logique traditionnelle : en premier lieu, son manque de généralité, son incapacité à traiter des systèmes de relations, si présents dans le raisonnement mathématique, sa dépendance vis-à-vis des structures du langage ordinaire. Pourtant la logique contemporaine permit également l’émergence d’une véritable histoire de la logique, par laquelle on commença enfin à dégager la syllogistique d’Aristote de ses divers développements historiques, qui en avaient fait une théorie combinatoire, limitée aux syllogismes à deux prémisses et trois termes. On doit beaucoup à l’œuvre pionnière de Jan Łukasiewicz d’avoir jeté une lumière nouvelle sur la logique d’Aristote (comme d’ailleurs sur celle des Stoïciens). Ainsi les chercheurs d’aujourd’hui préfèrent-ils souligner et étudier la grande proximité que la doctrine d’Aristote s’avère entretenir avec la logique contemporaine dès lors que l’on s’attache à dégager le projet général qui a mené à sa constitution. En retour, une telle approche a également suscité un nouvel intérêt et de nouveaux éclairages sur les développements – en particuliers médiévaux – de la syllogistique (nous n’en parlerons pas dans ce bref article et renvoyons sur ce sujet à l’excellent ouvrage de T. Parsons 2014).

S’intéresser aujourd’hui au syllogisme requiert de ne pas se centrer uniquement sur l’image que nous en a léguée la tradition, mais de porter tout d’abord son attention sur la notion tout à fait générale que l’on trouve étudiée d’une manière systématique sous le terme de sullogismos dans les œuvres logiques d’Aristote. Dès le début des Premiers Analytiques, Aristote définit le sullogismos comme :

un discours dans lequel, certaines choses ayant été posées, une chose distincte de celles qui ont été posées s’ensuit nécessairement, du fait que celles-là sont. (24b18-20)

Définit en ce sens qui ne spécifie ni le nombre des prémisses, ni celui des termes qu’elles enveloppent, le sullogismos est pour Aristote l’un des deux modes fondamentaux du raisonnement, à savoir le raisonnement déductif, l’autre mode étant le raisonnement inductif. Ainsi, la plupart des traducteurs contemporains choisissent-ils de rendre « sullogismos » par le terme de « déduction » réservant le mot de « syllogisme » à ces formes particulières de sullogismos à deux prémisses et trois termes. Ces formes, qui restent un cas particulier, constituent dans la doctrine d’Aristote les formes minimales de sullogismos.

Au cœur de la définition du sullogismos se trouve la relation très générale de « s’ensuivre nécessairement ». Cette notion s’approche de manière frappante du concept moderne de conséquence logique. En effet, la méthode du contre-exemple par laquelle Aristote rejette les groupes de prémisses desquels aucune conclusion ne peut être inférée nous apprend que, pour lui, comme pour les modernes, si une conclusion C s’ensuit nécessairement (ou est une conséquence logique) d’un groupe de prémisses Γ, alors toute interprétation des termes (ou du vocabulaire non logique) qui rend vraies les prémisses de Γ, doit également rendre vraie la conclusion C.

En dépit de cette grande proximité avec la notion moderne de conséquence logique, la définition d’Aristote s’écarte cependant de notre conception par plusieurs aspects. Premièrement, pour Aristote, la conclusion doit être une « chose distincte » des prémisses ; le syllogisme procède donc vers quelque chose qui n’est pas explicite dans les prémisses. Deuxièmement, la conclusion résulte du rapprochement de plusieurs prémisses ; on ne peut conclure sans prémisse ou même à partir d’une seule prémisse. Troisièmement, la conclusion doit résulter des prémisses « du fait que celles-là sont ». Cette dernière condition est souvent interprétée comme l’exigence que les prémisses soient pertinentes pour que la conclusion puisse être inférée. Enfin, il n’y a pas chez Aristote une notion neutre d’argument sous laquelle on distinguerait ceux qui sont valides de ceux qui ne le sont pas. Un syllogisme est valide ou contraignant par définition ; parler d’un sullogismos non valide ou non contraignant serait une incohérence. (Ainsi le sophisme et l’enthymème ne sont pas à, proprement parler, des syllogismes non valides, mais pour le premier une suite d’énoncés donnant l’illusion de former un syllogisme et pour le second un syllogisme dont une prémisse est une simple vraisemblance dont l’énoncé peut être omis par le locuteur).

D’un point de vue contemporain, si l’on s’en tenait aux formes minimales à deux prémisses, celles que la tradition a retenues, on serait immanquablement amené à juger que la syllogistique est simplement l’étude d’un groupe restreint et arbitrairement délimité d’arguments contraignants. On manquerait alors à comprendre que l’ambition d’Aristote était de montrer que tout argument contraignant – tout sullogismos – peut être ramené à une chaîne d’arguments relevant de quelques-unes seulement de ces formes minimales que la tradition nomme « syllogismes ». Que le résultat soit un échec indique sans doute une limitation des outils logiques d’Aristote, et sur ce terrain la logique contemporaine marque une avancée considérable. Mais cela n’entame en rien l’intérêt de la question posée – cette question que les modernes nomment complétude – ni l’importance du fait que l’on en trouve déjà chez Aristote, comme nous le verrons, une tentative de formulation et un traitement ingénieux.

2. Les propositions

Comme nous l’avons vu, les syllogismes sont constitués d’énoncés assertifs. Cela signifie que les prémisses et la conclusion d’un syllogisme sont ce que nous nommons des propositions, des énoncés qui sont soit vrais, soit faux. Dans le traité de l’Interprétation, Aristote affirme que tout énoncé assertif est constitué d’un unique sujet et d’un unique prédicat. Cette précision écarte de sa syllogistique les propositions composées, par exemple par conjonction ou par disjonction d’énoncés plus simples. En outre, chaque énoncé assertif est soit affirmatif, soit négatif, son prédicat y est soit affirmé, soit nié du sujet. Dans l’usage scolastique qui s’est imposé, toute proposition prend donc l’une des deux formes suivantes :

[sujet] est [prédicat]       [sujet] n’est pas [prédicat]

où « est », « n’est pas » expriment respectivement les copulae affirmatives et négatives, c’est-à-dire, le lien, respectivement la séparation du sujet et du prédicat.

Aristote, pour sa part, préfère décrire ses formes propositionnelles à l’aide de tournures que l’on traduit aujourd’hui par :

[prédicat] s’applique à [sujet]   [prédicat] ne s’applique pas à [sujet]

[prédicat] est le cas de [sujet]   [prédicat] n’est pas le cas de [sujet]

[prédicat] appartient à [sujet]   [prédicat] n’appartient pas à [sujet]

a. Termes, quantité et qualité

Le sujet et le prédicat d’une proposition sont ses termes. Un terme peut être singulier (par exemple Callias, Socrate) ou général (par exemple homme, philosophe, mortel). La distinction relève largement chez Aristote de sa métaphysique, les premiers se rapportant à des individus ou substances premières, les seconds à des substances secondes, mais pour la syllogistique il est suffisant de préciser que les termes généraux sont les seuls à pouvoir être affirmés ou niés de quelque chose (ce sont des prédicables), d’où une dissymétrie entre les deux sortes de termes puisque les termes généraux peuvent occuper indistinctement la position de sujet ou de prédicat d’une proposition, alors que les termes singuliers ne peuvent prendre que la position de sujet (ils ne sont pas prédicables). Enfin, lorsque le sujet est général (par exemple homme), ce qui en est prédiqué (affirmé ou nié) l’est soit de façon universelle (Tout homme est sage), soit de façon particulière (Quelque homme est sage), soit encore de façon indéterminée (lorsqu’il n’est pas précisé si c’est de façon universelle ou particulière ; nous laisserons ici ce cas de côté).

En croisant les distinctions singulier/général, affirmatif/négatif (différence dite de qualité), et universel/particulier (différence dite de quantité), on obtient l’ensemble des possibilités suivantes de propositions (où P désigne un prédicat, s un sujet singulier et S un sujet général) :

Affirmatives Négatives
Singulières  

P s’applique à s

(s est P)

 

P ne s’applique pas à s

(s n’est pas P)

Universelles  

P s’applique à tout S

(Tout S est P)

 

P ne s’applique à aucun S

(Nul S n’est P)

Particulières  

 

P s’applique à quelque S

(Quelque S est P)

 

 

P ne s’applique pas à quelque S

(Quelque S n’est pas P)

b. Les oppositions

Dans le traité de l’Interprétation, Aristote examine les relations qu’entretiennent les couples de propositions qui ont même sujet et même prédicat. Si le sujet est singulier, on obtient deux énoncés dont le négatif rejette précisément ce que l’affirmatif asserte :

s est P s n’est pas P

Un couple de propositions dans une telle opposition forme ce qu’Aristote appelle une contradiction. Dans le cas des propositions à sujet général, dont les quatre formes constituent ce qu’on nomme les propositions catégoriques, Aristote montre que le changement de qualité ne suffit pas à obtenir une contradiction, mais qu’il faut aussi modifier la quantité. On obtient alors un système de différentes relations entre les quatre propositions catégoriques, que l’on représente traditionnellement dans un digramme nommé « carré des oppositions » (selon l’usage médiévale, on désigne ces propositions par les lettres A, I – qui sont les premières voyelles de « affirmo » – et E, O – qui sont celles de « nego ») :

carre-des-oppositions

Carré des oppositions

En dehors du cas très particulier des énoncés portant sur des événements futurs contingents (dont nous ne parlerons pas dans cet article), tout couple de contradictoires (A/O ou E/I) est tel que nécessairement un des énoncés est vrai et l’autre faux (ils ne peuvent ni être tous les deux vrais, ni être tous les deux faux). Dans un couple de contraires (A/E), nécessairement l’une au moins des propositions est fausse (elles ne peuvent être toutes les deux vraies). Les subcontraires (I/O) sont dans une opposition qu’Aristote qualifie de « verbale » ; nécessairement l’une au moins est vraie (elles ne peuvent pas être toutes les deux fausses). Enfin, les subalternes (A/I ou E/O), qui ne sont pas en « opposition » et dont Aristote ne parle qu’incidemment dans les Topiques (109a1-6, 119a34-37), entretiennent un rapport correspondant à ce que les modernes nomment une implication (il ne se peut pas que la première soit vraie et la seconde fausse).

c. La portée existentielle

Au nombre des opinions simplificatrices – souvent persistantes – que les modernes ont pu porter sur la logique d’Aristote, on compte celle qui voudrait que soient exclus de la syllogistique les termes vides (ceux sous lesquels ne tombent aucun individu). De nombreux passages de l’Organon montrent pourtant qu’il n’en est rien. L’erreur provient d’une assimilation trop rapide entre les particulières de la logique d’Aristote et les existentielles de notre logique des prédicats. Comme on le sait, les existentielles affirmatives et négatives de la logique des prédicats (∃x)(Sx∧Px) et (∃x)(Sx∧¬Px) impliquent toutes les deux (∃x)Sx , soit l’affirmation de l’existence d’un objet qui tombe sous S. Elles ont, comme on dit, une portée existentielle. Par contre chez Aristote, cela ne peut pas être le cas des deux particulières « Quelque S est P » et « Quelque S n’est pas P ». En effet, si chacune avait une portée existentielle, alors les universelles, qui sont leurs contradictoires respectives, devraient chacune en être dépourvue (c’est-à-dire, ne pas envelopper l’affirmation de l’existence d’un objet qui tombe sous S). Mais, cela serait alors incohérent, car l’universelle implique la particulière de même qualité dans la logique d’Aristote : des propositions qui envelopperaient une affirmation d’existence (les particulières) devraient ainsi être impliquées par des propositions qui n’envelopperaient pas cette affirmation (les universelles).

Postuler par avance que les termes du langage de la syllogistique ne sont pas vides est une solution à moindre frais. Certes, cela permet de sauver la cohérence du système, tout en conservant l’idée que nos existentielles traduisent bien le sens des particulières de la syllogistique. Cependant, Aristote admet bel et bien les termes vides. Sa solution est déjà clairement décrite dans le traité des Catégories : lorsque le sujet est vide, il est faux d’en affirmer quoi que ce soit et vrai d’en nier quoi que ce soit. Si Socrate n’existe pas, « il est faux qu’il soit malade, dit Aristote, et il est vrai qu’il n’est pas malade » (13b32). Pour les propositions catégoriques, la solution est la même : lorsque le sujet S est un terme vide, les deux affirmatives sont fausses (« Tout S est P » et « Quelque S est P » sont fausses) et les deux négatives sont vraies (« Nul S n’est P » et « Quelque S n’est pas P » sont vraies). Cette solution préserve la cohérence de la syllogistique et respecte toutes les relations du carré des oppositions. Contrairement au choix de la logique d’aujourd’hui, ce n’est pas une quantité qui est chargée de la portée existentielle, mais une qualité. Dans le langage de la syllogistique, ce sont les affirmatives qui ont une portée existentielle. Les négatives en sont toutes deux dépourvues et la particulière négative ne peut donc pas être traduite adéquatement par une existentielle de notre logique. Pour plus de détails, on consultera Parsons (2014 : 1.2-1.4) et Read (2015).

3. La syllogistique

Comme nous l’avons vu avec la définition du sullogismos, le propos d’Aristote est tout à fait général. Le but du système de la syllogistique est de fournir suffisamment de règles d’inférence pour pouvoir toujours établir si une conclusion s’ensuit nécessairement d’un nombre quelconque de prémisses données, c’est-à-dire pour rendre compte de tout sullogismos. Aristote soutient que l’ensemble constitué des règles spécifiques que l’on nomme les syllogismes répond à cette exigence. Comme on le verra, il montre également que cet ensemble peut lui-même être réduit à un très petit nombre de règles dont la validité est évidente.

a. Le langage de la syllogistique

Même si la syllogistique ne s’exprime pas dans un langage formel, l’usage qu’Aristote fait des variables est bien, comme le souligne Łukasiewicz, la marque d’une logique formelle. Les règles d’usage de ces variables restent bien entendu implicites, mais la conception qu’Aristote s’en fait est loin d’être rudimentaire : les variables indiquent non seulement la possibilité de substitutions par des termes concrets, mais aussi par d’autres variables. Pourtant, en ce qui concerne l’expression de la forme logique, les modernes, et en premier lieu Frege, ont souvent reproché à Aristote de n’avoir pas su se départir suffisamment du langage ordinaire. La critique est fondée, mais elle manque à relever une particularité intéressante de l’approche du Stagirite. En effet, contrairement à la tradition, qui rend les formes propositionnelles élémentaires par des tournures faisant intervenir le verbe être, l’expression ordinaire de la négation et des mots de quantification, Aristote s’appuie presque exclusivement sur un discours qui décrit les propositions et leurs enchaînements :

Si A s’applique à tout B et B à tout C, alors il est nécessaire que A s’applique à tout C. (25b 39)

Depuis les travaux de T. Smiley et de J. Corcoran de nombreux chercheurs conçoivent ce type de description de la forme d’un syllogisme comme l’énoncé d’une directive d’inférence. Une telle interprétation permet de souligner deux traits essentiels de la syllogistique. Tout d’abord, contrairement à ce que soutient Łukasiewicz, les connecteurs propositionnels tels que la conjonction, le conditionnel et même la négation ne sont pas (même implicitement) des constantes logiques de la syllogistique. Ils apparaissent évidemment dans ce qu’on nomme aujourd’hui le métalangage (on en use pour exprimer la directive), mais ils restent absents du langage objet ; la syllogistique ne dit rien à leur sujet. Ensuite, les syllogismes tels qu’ils sont présentés par Aristote sont absolument analogues à ce qu’on nomme aujourd’hui des règles d’inférence. La syllogistique peut adéquatement être conçue comme un système déductif, mais un système sans connecteur propositionnels : une pure logique des termes, qui n’est pas construite sur la logique des propositions.

Seules les propositions catégoriques apparaissent dans les formes du syllogisme ; les quatre relations qu’elles expriment en constituent les quatre constantes logiques primitives. Celles-ci peuvent être rendues par les abréviations symboliques suivantes :

Aba pour a s’applique à tout b (Tout b est a)

Eba pour a ne s’applique à aucun b (Nul b n’est a)

Iba pour a s’applique à quelque b (Quelque b est a)

Oba pour a ne s’applique pas à quelque b (Quelque b n’est pas a)

De cette manière, on peut très aisément fournir un langage formel à la syllogistique : il suffit d’indiquer une liste de lettres pour les termes (a, b, c, …) et de définir les formules comme résultats de l’application d’un des quatre relateurs A, E, I et O à un couple de termes. L’énoncé de la directive d’inférence que nous avons vu en exemple ci-dessus, peut alors prendre une forme symbolique très simple :

Aba, Acb Aca

où le symbole ‘’ exprime que ce qui est à sa droite « s’ensuit nécessairement » de ce qui est à sa gauche. On notera que le choix des lettres A, E, I, O permet de conserver l’usage des dénominations mnémotechniques médiévales ; ici il s’agit bien du syllogisme dit ‘Barbara’ (les voyelles indiquant qu’il s’agit d’une forme avec trois propositions A).

b. Les figures et les modes

Concrètement, la syllogistique est la théorie des syllogismes entendus comme une sorte très spécifique de sullogismos, à savoir ceux qui prennent pour prémisses deux propositions catégoriques ayant exactement un terme en commun (le moyen terme) et dont la conclusion est une proposition catégorique dont les termes sont ceux qui ne sont pas commun aux prémisses (les termes extrêmes). Cette spécificité donne lieu à trois possibilités qu’Aristote nomme figures : soit le terme commun aux prémisses (le moyen terme) est sujet dans une prémisse et prédicat dans l’autre, soit il est sujet dans les deux prémisses, soit enfin il est prédicat dans les deux prémisses. On obtient la combinatoire suivante :

Première figure Deuxième figure Troisième figure
Sujet Prédicat Sujet Prédicat Sujet Prédicat
Prémisse 1 b a a b b a
Prémisse 2 c b c b b c
Conclusion c a c a c a

Chacune des prémisses pouvant être de type A, E, I ou O, dans chaque figure il y a alors 16 possibilités de poser les deux prémisses, soit 16 modes. A l’aide de procédés sur lesquels nous allons revenir, Aristote détermine pour chacun des modes si, oui ou non, une conclusion s’ensuit nécessairement des prémisses ; quand c’est le cas le mode donne lieu à syllogisme, et quand ce n’est pas le cas, c’est qu’il n’y a pas syllogisme et que le mode est non concluant. Les syllogismes ainsi dégagés forment cet ensemble de règles dont Aristote soutiendra qu’il est suffisant pour rendre compte de tout sullogismos.

Ici, il convient de mentionner une controverse sur la combinatoire. Comme on le voit dans le tableau ci-dessus, Aristote ne semble prendre en compte à première vue que les conclusions qui tirent leur sujet de la seconde prémisse et leur prédicat de la première. D’abord, il faut remarquer qu’omettre les cas inverses (où le sujet est pris dans la première et le prédicat dans la seconde prémisse) n’a aucune conséquence dans les figures 2 et 3 puisque l’ordre des prémisses y est indifférent. Dans la première figure en revanche, l’ordre est indifférent en lui-même, mais les prémisses se distinguent en celle qui fournit le sujet de la conclusion et celle qui en fournit le prédicat. Aristote remédie au problème en prenant explicitement en considération dans cette figure les conclusions avec les deux termes inversés ; il parle alors de syllogismes indirects. Certains commentateurs préfèrent ranger ces cas dans une quatrième figure, modifiant ainsi la définition de la figure. Les deux solutions sont également convenables et les discussions que cette question a pu engendrer restent d’un intérêt logique mineur. En définitive, le choix entre l’une ou l’autre de ces solutions n’est qu’une affaire de goût. Le nôtre nous fait suivre ici le Stagirite.

Grâce à la notation symbolique adoptée plus haut, on peut énumérer aisément l’ensemble des modes qui donnent lieu à syllogisme. Dans le tableau qui suit, on trouve à gauche tous les modes syllogistiques mis en évidence dans les Premiers Analytiques. Nous avons ajouté à ceux-ci les modes dits subalternes, obtenus par affaiblissement des conclusions universelles en particulières. Chacun des 24 modes concluants est présenté selon l’usage traditionnel avec sa dénomination mnémotechnique médiévale, dans laquelle les trois premières voyelles indiquent les types respectifs de la première prémisse, de la seconde prémisse et de la conclusion.

Première figure Modes subalternes (absents chez Aristote)
Aba , Acb Aca Barbara Aba , Acb Ica Barbari
Eba , Acb Eca Celarent Eba , Acb Oca Celaront
Aba , Icb Ica Darii
Eba , Icb Oca Ferio
Modes indirects de la première figure
Aba , Acb Iac Baralipton
Eba , Acb Eac Celantes Eba , Acb Oac Celantop
Aba , Icb Iac Dabitis
Aba , Ecb Oac Fapesmo
Iba , Ecb Oac Frisesomorum
Deuxième figure
Eab , Acb Eca Cesare Eab , Acb Oca Cesaro
Aab , Ecb Eca Camestres Aab , Ecb Oca Camestrop
Eab , Icb Oca Festino
Aab , Ocb Oca Baroco
Troisième figure
Aba , Abc Ica Darapti
Eba , Abc Oca Felapton
Iba , Abc Ica Disamis
Aba , Ibc Ica Datisi
Oba , Abc Oca Bocardo
Eba , Ibc Oca Ferison

Tableau des modes du syllogisme

c. La réduction des syllogismes imparfaits aux syllogismes parfaits

Pour Aristote, les sullogismos se divisent en parfaits et imparfaits. Le sens exact de cette distinction reste controversé, mais il suffit, pour la syllogistique, de comprendre que les syllogismes parfaits sont ceux qui ne nécessitent aucune justification autre que l’évidence. Cette évidence est cependant subordonnée à une claire compréhension des prédications exprimées par les propositions. Cette compréhension s’appuie sur une explication donnée par Aristote et que l’on peut qualifier de sémantique. Cette explication est traditionnellement désignée sous les étiquettes latines de dictum de omni et dictum de nullo :

Nous disons qu’un terme [le prédicat] « s’applique à un autre [le sujet] tout entier » lorsqu’il n’est pas possible de trouver quelque instance du sujet dont l’autre terme ne se dise pas. Même chose lorsque nous disons qu’un terme « ne s’applique à aucun » [à savoir, il n’est pas possible de trouver quelque instance du sujet dont l’autre terme se dise]. (24b28-30)

Aristote se réfère explicitement à ce passage lorsqu’il affirme que sont parfaits les quatre modes syllogistiques (directs) de la première figure : Barbara, Celarent, Darii et Ferio. Tous les autres sont imparfaits et nécessitent donc une justification. Celle qui est fournie par Aristote consiste en une réduction des syllogismes imparfaits aux syllogismes parfaits. Pour réduire un syllogisme imparfait Aristote construit une déduction partant de ses prémisses et menant à sa conclusion, dans laquelle ne sont utilisés que des syllogismes parfaits, ainsi que trois procédures d’inférence : la conversion, la réduction à l’impossible et l’ecthèse.

i. La conversion

La conversion est l’outil principal de réduction. Elle est constituée de règles permettant d’inférer une proposition à partir d’une autre par inversion du sujet et du prédicat. Aristote reconnait trois formes de conversion dont la présentation au début des Premiers Analytiques est accompagnée chaque fois d’un exemple :

Eab Eba E-conv (conversion de l’universelle négative)

Si aucun plaisir n’est un bien, aucun bien ne sera non plus un plaisir. (25a7)

Iab Iba I-conv (conversion de la particulière affirmative)

Si quelque plaisir est un bien, il est vrai aussi que quelque bien est un plaisir. (25a11)

Aab Iba A-conv (conversion de l’universelle affirmative)

Si tout plaisir est un bien, il est vrai aussi que quelque bien est un plaisir. (25a9)

On notera que les deux premières conversions inversent sujet et prédicat sans changer le type de la proposition. Elles sont donc réciproques : de la conclusion, on peut revenir à la prémisse par la même transformation. En revanche, la conversion de la proposition A conduit à une proposition I ; dans ce cas, il n’y a pas d’inférence réciproque.

Aristote complète sa présentation des conversions en montrant par un contre-exemple que la proposition O ne se convertit pas. Le contre-exemple revient à celui-ci : il est vrai que quelque animal n’est pas homme et pourtant tout homme est animal (c’est-à-dire qu’il n’est pas vrai que quelque homme n’est pas animal).

Les conversions permettent de réduire presque tous les syllogismes imparfaits aux parfaits. Voyons par exemple, comment se présente, d’abord dans le texte d’Aristote, puis dans une version symbolisée, la réduction du mode Cesare :

Admettons que b ne s’applique à aucun a et à tout c. Puisque donc la prémisse négative se convertit, a ne sera le cas pour aucun b. Or on a posé que b est le cas pour tout c, de sorte que a ne sera le cas pour aucun c (cela a été établi précédemment [dans la première figure]). (27a6-9, noms des variables modifiés)

Cesare : Eab , Acb Eca

1. Eab Prémisse

2. Acb Prémisse

3. Eba 1, E-conv

4. Acb 2, Répétition

5. Eca 3, 4, Celarent

On notera en passant que l’initiale de la dénomination médiévale d’un syllogisme imparfait (ici le ‘C’ de ‘Cesare’) indique à quel syllogisme parfait Aristote le réduit (ici Celarent, puisque son initiale est également ‘C’).

ii. La réduction à l’impossible

De fait, seuls deux modes résistent à cette première méthode : Baroco (2e figure) et Bocardo (3e figure). Pour ces deux modes Aristote doit recourir à une autre méthode : la réduction à l’impossible. Pour obtenir la conclusion, on commence par ajouter aux prémisses – à titre d’hypothèse – la contradictoire de la conclusion recherchée. Ensuite, on dérive de ces trois propositions, soit un couple de contradictoires, soit un couple de contraires (c’est-à-dire un couple où forcément l’une des propositions au moins est fausse). Ayant raisonné à partir de prémisses supposées vraies, la fausseté obtenue doit dériver de l’hypothèse ajoutée. On est donc justifié à conclure en rejetant cette hypothèse, c’est-à-dire en avançant sa contradictoire. Rappelons qu’il n’y a pas de négation propositionnelle dans la syllogistique ; rejeter une proposition se fait donc toujours en avançant sa contradictoire. Avec une réduction à l’impossible, on n’obtient donc pas la conclusion par un chemin direct, allant des prémisses à la conclusion, mais par un « détour » permettant de rejeter la contradictoire de ce que l’on vise. On parle alors de réduction indirecte. Voyons, par exemple, la réduction indirecte de Bocardo :

Si c est le cas pour tout b cependant que a n’est pas le cas pour quelque b, il est nécessaire que a ne soit pas le cas pour quelque c [conclusion recherchée]. Car s’il est le cas pour tout c, comme c est le cas pour tout b, [alors par la première figure] a sera lui aussi le cas pour tout b. Mais on a posé qu’il n’est pas le cas [contradiction]. (28b18-21, noms des variables modifiés)

Bocardo : Oba , Abc Oca

1. Oba Prémisse

2. Abc Prémisse

3. Aca hypothèse (contradictoire de la conclusion recherchée)

4. Abc 2, Répétition

5. Aba 3, 4, Barbara

6. Oba 1, Répétition

7. Oca 5, 6 contradictoires, rejet de 3

iii. L’ecthèse

Enfin, Aristote fait encore plusieurs allusions dans les Premiers Analytiques à un troisième procédé de réduction : l’ecthèse (le mot est souvent traduit par « exposition » ou « mise en évidence »). Le trait principal de la réduction par ecthèse est l’introduction d’une variable qui n’apparait pas dans les prémisses. Cette variable joue le rôle d’un moyen terme indéterminé qui sera éliminé par syllogisme dans la suite de la dérivation. Malheureusement la procédure est peu explicitée par Aristote ; son interprétation donne lieu à controverse et relève forcément d’une dimension spéculative. Tout d’abord, l’usage qu’il préconise de l’ecthèse pour obtenir une réduction de Darapti (28a21-27) ne semble cohérent que si la variable introduite est une variable de terme singulier. Dans tous les autres cas cependant, l’introduction d’une variable de terme général permet d’obtenir plus aisément une explication cohérente du procédé. C’est ainsi cette seconde interprétation que nous choisissons de présenter ici.

L’idée de l’ecthèse ainsi interprétée est de tirer deux propositions universelles à partir d’une proposition particulière. Par exemple, si l’on dispose d’une proposition Iab (Quelque a est b), on pourra nommer x une des parties qui sont communes à a et à b. De cette partie x, on pourra alors dire qu’elle est entièrement a (Axa) et qu’elle est entièrement b (Axb). Ainsi obtenons-nous la règle à double conclusion suivante, où l’on précise que x doit être une « nouvelle » variable :

Iab Axa , Axb I-ecth

x est une variable qui n’apparait pas encore dans le raisonnement

De la même façon, si l’on dispose d’une proposition Oab (Quelque a n’est pas b), on pourra nommer x une des parties qui sont a sans être b. De cette partie x, on pourra alors dire qu’elle est entièrement a (Axa) et qu’elle n’est aucunement b (Exb). Cette seconde règle d’ecthèse présente cependant une difficulté liée à l’absence de portée existentielle de la prémisse Oab. En effet, que cette proposition négative soit vraie ne suffit pas à garantir l’existence de quelque a. Avec le terme a vide, x le serait également (puisqu’il est pris dans a) et la conclusion Axa serait fausse. Ainsi la règle d’ecthèse de la proposition O doit-elle être accompagnée de la condition que le sujet de la prémisse Oab ne soit pas vide. Pour garantir cela, l’énoncé de la règle imposera que le sujet de la prémisse soit déjà apparu dans le raisonnement comme terme d’une proposition affirmative, avec portée existentielle (cette condition n’est pas indiquée par Aristote, mais elle est respectée dans ses exemples) :

Oab Axa , Exb O-ecth

où – x est une variable qui n’apparait pas encore dans le raisonnement

– une proposition affirmative contenant le terme a précède dans le raisonnement

Voyons, par exemple, comment on peut obtenir une réduction alternative de Bocardo en usant d’une ecthèse (comme Aristote nous l’indique allusivement en 28b21) :

Bocardo : Oba , Abc Oca (par ecthèse)

1. Oba Prémisse

2. Abc Prémisse

3. Axb 1, O-ecth (x est la nouvelle variable, b apparait dans l’affirmative ligne 2.)

4. Exa 1, O-ecth

5. Axc 2, 3, Barbara

6. Icx 5, A-conv

7. Oca 4, 6 Ferio

Cette réduction semble plus complexe que celle par réduction à l’impossible ; elle s’appuie sur l’ecthèse de O, sur la conversion de A, ainsi que sur les syllogismes parfaits Barbara et Ferio. Cependant, elle présente l’avantage important de ne pas être une dérivation indirecte.

Comme nous l’avons dit plus haut, les seuls syllogismes imparfaits qui ne peuvent pas être réduits par simple conversion sont Bocardo et Baroco. Aristote présente explicitement pour chacun d’eux une réduction indirecte. Cependant, puisque Bocardo et en fait également Baroco peuvent aussi être réduits par ecthèse, cela signifie que tout syllogisme imparfait peut être ramené aux syllogismes parfaits par une réduction directe. C’est un constat que l’on peut faire concernant le système de la syllogistique, mais il faut souligner qu’Aristote ne le relève pas lui-même. Pour plus de détail à ce sujet, on se reportera à Smith (1982, 1983) et Joray (2014, 2016).

En résumé, l’ensemble des outils admis par Aristote pour obtenir les modes concluant de la syllogistique forment la base suivante :

Base 1

Barbara, Celarent, Darii, Ferio

Conversions de E, I et A

Réduction à l’impossible

Ecthèse

Nous verrons par la suite que cette base peut encore être nettement diminuée.

d. La réfutation des modes non concluants

En s’appuyant sur la perfection et sur la réduction, Aristote a donc montré que 19 modes donnent lieu à syllogisme (de fait, il y a 24 syllogismes puisque 5 modes présentent une seconde conclusion, par subalternation). Pour compléter son étude, Aristote doit encore réfuter tous les autres modes, c’est-à-dire montrer qu’ils ne sont pas concluants. Pour réfuter un mode, on doit montrer qu’aucune des propositions prenant pour termes les extrêmes ne s’ensuit nécessairement des prémisses. Pour ce faire, le principe consiste à exhiber un contre-exemple, c’est-à-dire un triplet de termes concrets qui rend vraies les prémisses et fausse la proposition dont on veut montrer qu’elle ne s’ensuit pas. Par exemple, pour montrer que des deux prémisses Eba et Ecb, la proposition Oca ne s’ensuit pas, il suffit de considérer les substitutions suivantes :

a / animal

b / végétal

c / homme

On obtient alors un contre-exemple, les deux prémisses étant vraies et la proposition dont on veut montrer qu’elle ne s’ensuit pas fausse :

Eba Aucun végétal n’est animal (vraie)

Ecb Aucun homme n’est végétal (vraie)

Oca Quelque homme n’est pas animal (fausse)

Cette forme n’est donc pas celle d’un syllogisme puisqu’une certaine substitution montre que les prémisses peuvent être vraies sans que la troisième proposition ne le soit.

Cette méthode présente cependant un problème pratique : pour montrer qu’aucune conclusion ne s’ensuit nécessairement d’un certain mode, il faut exhiber quatre contre-exemples. Ici, nous avons en effet réfuté la conclusion Oac, mais il resterait à réfuter les conclusions Aac, Eac et Iac. Pire, dans la première figure, on doit aussi présenter quatre contre-exemples pour réfuter les conclusions avec sujet et prédicat inversés. De fait, avec cette méthode, ce n’est pas moins de 180 contre-exemples qu’il faudrait exhiber pour être complet.

Aristote s’appuie sur une méthode plus économique et plus conforme à sa façon de rejeter les propositions par affirmation des opposées. Pour chaque mode entendu comme couple de prémisses, il présente deux triplets de termes dont un terme seulement est différent et dont les substitutions donnent chaque fois des prémisses vraies. Par exemple, pour réfuter le mode Eba–Ecb, déjà examiné ci-dessus, on peut prendre les triplets suivants :

a / animal a / animal

b / végétal et b / végétal

c / homme c / rocher

Les substitutions donnent respectivement comme prémisses :

Aucun végétal n’est animal (vraie) Aucun végétal n’est animal (vraie)

Aucun homme n’est végétal (vraie) Aucun rocher n’est végétal (vraie)

Lorsque l’on considère la relation obtenue entre les termes extrêmes, on constate qu’avec nos choix de termes, dans le premier cas, on a une universelle affirmative vraie et dans le second une universelle négative vraie :

Tout homme est animal (vraie) Aucun rocher n’est animal (vraie)

Ces deux combinaisons montrent que les prémisses peuvent être vraies quel que soit le rapport existant entre le sujet et le prédicat de la conclusion que l’on envisage. Aucun des rapports allant de l’inclusion complète, jusqu’à l’exclusion complète n’est alors imposé par les prémisses. On ne peut donc rien conclure d’un couple de prémisses de cette forme. Dit autrement, le premier triplet revient à fournir des contre-exemples pour réfuter les conclusions négatives et le second triplet pour réfuter les conclusions affirmatives.

4. Réflexions systématiques

Avec la réduction d’une part et les réfutations de l’autre, on parvient donc à montrer de façon exhaustive quels modes conduisent à syllogismes et quels modes sont non concluants. L’espace combinatoire des figures est donc entièrement investigué. Pourtant Aristote accompagne encore son étude d’une réflexion sur l’économie et sur la portée de son système.

a. Une économie de moyens

Aristote va montrer que les outils nécessaires à la réduction ne sont pas indépendants et qu’il est possible de faire reposer le système sur une base plus restreinte. Pour ce faire, il commence par montrer (en 29b1-25) que les syllogismes Darii et Ferio, bien que parfaits, peuvent être ramenés par réduction à l’impossible à Camestres et Cesare, ces deux syllogismes pouvant être réduits par conversion à Celarent. Il établit ainsi que l’ensemble des syllogismes est réductible aux deux seuls syllogismes parfaits Barbara et Celarent.

Ensuite, il convient de relever que lorsqu’Aristote introduit les trois conversions, il ne les présente pas comme des outils primitifs, mais les fait suivre de preuves par réduction à l’impossible. La première preuve qu’il donne, celle de la conversion de E, est assez elliptique. Son interprétation a donné lieu à des débats dès l’Antiquité et nous la reprendrons plus loin. Par contre, si l’on admet sans preuve cette conversion de E, on peut aisément en dériver les deux autres par les réductions indirectes suivantes :

Si b est le cas pour tout a, a est également le cas pour quelque b. Car s’il n’était le cas pour aucun, b non plus ne serait le cas pour aucun a. Mais on a admis par hypothèse qu’il était le cas pour tout a. (25a18-19, noms des variables modifiés)

A-conv : Aab Iba

1. Aab Prémisse

2. Eba Hypothèse

3. Eab 2, E-conv

4. Aab 1, Répétition

5. Iba 3, 4 contraires, rejet de 2

Si b est le cas pour quelque a, nécessairement aussi a sera le cas pour quelque b. Car s’il n’était le cas pour aucun, b non plus ne serait le cas pour aucun des a. (25a20-22, noms des variables modifiés)

I-conv : Iab Iba

1. Iab Prémisse

2. Eba Hypothèse

3. Eab 2, E-conv

4. Iab 1, Répétition

5. Iba 3, 4 contradictoires, rejet de 2

Enfin, si l’on ajoute qu’avec la réduction à l’impossible, l’ecthèse n’est pas nécessaire pour procéder à l’ensemble des réductions, on voit que l’on parvient à une base très économique permettant d’obtenir toute la syllogistique :

Base 2

Barbara, Celarent

Conversion de E

Réduction à l’impossible

Vu les indications d’Aristote, il est tentant de penser qu’il s’agit de la base sur laquelle il entendait lui-même faire reposer l’édifice. Cependant, il convient de faire preuve ici d’une certaine prudence, car cette hypothèse ne rend compte ni du rôle de l’ecthèse, ni du fait qu’Aristote donne dès le chapitre 2 des Premiers Analytiques une preuve de la conversion des propositions E. Comme nous l’avons déjà dit, cette preuve est malheureusement elliptique :

Si b n’est le cas pour aucun des a, a non plus ne sera le cas pour aucun des b. En effet, s’il était le cas pour quelque a, appelons-le x, il ne serait pas vrai que b n’est le cas pour aucun a, car x fait partie des b. (25a15-17, noms des variables modifiés)

Trois éléments sont cependant clairs dans cet extrait : 1. il s’agit bien de l’esquisse d’une preuve ; 2. Aristote procède par réduction à l’impossible ; 3. l’introduction de la lettre x indique une ecthèse. Pour le reste, le texte ne permet pas de savoir comment Aristote parvient à la contradiction permettant le rejet de l’hypothèse. Le commentateur est donc contraint à effectuer une reconstruction. Avec l’interprétation que nous avons donnée de l’ecthèse, la reconstruction suivante est au moins plausible :

E-conv : Eab Eba

1. Eab Prémisse

2. Iba Hypothèse

3. Axb 2, I-ecth (x est la nouvelle variable)

4. Axa 2, I-ecth

5. Iab 3, 4, Darapti

6. Eab 1, Répétition

7. Eba 5, 6 contradictoires, rejet de 2

Une telle preuve peut sembler problématique puisqu’elle fait appel au syllogisme Darapti de la troisième figure. Cependant, comme l’indique Aristote (en 28a22), Darapti peut être réduit de façon indirecte à Celarent, sans faire appel à une conversion. (Pour plus de détails, on se reportera au commentaire du passage 25a15-17 dans la traduction de G. Stricker et à Joray 2014). La reconstruction que nous avons donnée montre au moins qu’il est possible sans cercle d’obtenir la conversion de E, et par suite tous les syllogismes, à partir de la base suivante :

Base 3

Barbara, Celarent

Réduction à l’impossible

Ecthèse de I

Cette base est au moins aussi économique que la précédente et a pour avantage de rendre compte de la preuve de la conversion de E. Aristote entendait-il faire reposer l’édifice de la syllogistique sur une des bases que nous avons présentées ou encore sur une autre base ? Malheureusement, rien dans les textes ne permet de trancher définitivement une telle question. On retiendra cependant que de nombreux indices textuels montrent clairement l’intérêt qu’il portait à la réflexion sur les aspects systématiques de sa syllogistique et en particulier sur la recherche d’un ensemble minimal et indépendant de règles d’inférence immédiatement évidentes, auxquelles peuvent se réduire tous les syllogismes.

b. « Complétude » de la syllogistique

La notion contemporaine de complétude ne peut pas être appliquée à la syllogistique d’Aristote. Cette notion qui est très récente et ne se trouve pleinement explicitée qu’avec les travaux de A. Tarski exprime en effet une relation entre la syntaxe d’un système et une sémantique, dans laquelle se trouve définie la relation de conséquence logique. En termes plus techniques, on dit qu’une logique L est complète lorsque pour toute proposition P qui est une conséquence logique d’un ensemble Γ de prémisses, il existe dans L une déduction de P à partir de Γ. De fait, si l’on veut appliquer la notion contemporaine de complétude à la syllogistique, comme le propose Corcoran (1972), il faut d’abord fournir à celle-ci une sémantique. Mais il s’agit là d’une approche spéculative contemporaine, car cette distinction entre un système déductif purement syntaxique et une définition sémantique de la conséquence logique est tout à fait étrangère à Aristote. Comme c’est d’ailleurs encore le cas pour G. Frege, pour B. Russell ou encore pour S. Leśniewski, les relations de conséquence logique et de déductibilité ne font qu’une : est une conséquence logique d’un ensemble de prémisses ce qui peut en être logiquement déduit.

Pour Aristote, que P s’ensuive nécessairement d’un ensemble de prémisses Γ signifie littéralement qu’ils forment un sullogismos : celui qui admet les prémisses de Γ est, par cela-même, contraint d’admettre P. La syllogistique a précisément pour but de délimiter l’ensemble des cas où cette contrainte a lieu. Pour montrer que la syllogistique permet de faire cela Aristote procède en deux temps, dans les chapitres I.23 à I.25 des Premiers Analytiques. Tout d’abord, il pose ce que Smiley nomme le principe de la chaîne : il ne peut y avoir de sullogismos que là où les prémisses relient, par l’intermédiaire d’un ou plusieurs moyens termes, le sujet au prédicat de la conclusion. Dit autrement, si une conclusion rapporte b à a, elle ne peut s’ensuivre nécessairement que d’un ensemble de prémisses formant une chaîne :

am1 , m1m2 , … , mn-1mn , mnb (où n ≥ 1)

Aristote montre alors dans un second temps que, si les prémisses satisfont la restriction posée par le principe de la chaîne, alors une certaine conclusion ab s’ensuivra nécessairement si et seulement si on peut parvenir à la conclusion en appliquant aux prémisses une série de syllogismes pris dans les trois figures. Dans le cas contraire, la conclusion en question ne s’ensuit pas nécessairement des prémisses et on peut trouver un contre-exemple.

On peut montrer, par exemple, que des quatre prémisses Ecd, Aab, Ied, Abc s’ensuit la conclusion Oea par applications successives de Barbara, Celarent et Festino. Pour trouver les modes et leur ordre d’application, on commence par ordonner les prémisses de façon à ce qu’elles forment la chaîne attendue :

Aab, Abc, Ecd, Ied (selon la chaîne de termes ab , bc , cd , de).

Ensuite, on considère d’abord les deux premières prémisses, dont on tire une conclusion intermédiaire. Avec cette conclusion et la troisième prémisse, on dégage une seconde conclusion intermédiaire. Enfin le résultat est obtenu sur la base de cette seconde conclusion et de la dernière prémisse. Schématiquement, on obtient :

Aab, Abc, Ecd, Ied Oea

1. Aab Prémisse

2. Abc Prémisse

3. Ecd Prémisse

4. Ied Prémisse

5. Aac 1, 2, Barbara

6. Ead 3, 5, Celarent

7. Oea 6, 4, Festino

D’un autre côté, de ces mêmes prémisses, on peut aussi montrer qu’on ne peut pas déduire la conclusion Oae. C’est ce que l’on fait en exhibant, comme suit, un contre-exemple :

Aab, Abc, Ecd, Ied Oae

a / homme Aab : Tout homme est mammifère (vraie)

b / mammifère Abc : Tout mammifère est animal (vraie)

c / animal Ecd : Aucun animal n’est végétal (vraie)

d / végétal Ied : Quelque mortel est végétal (vraie)

e / mortel Oae : Quelque homme n’est pas mortel (fausse)

Comme le montre Smiley (1973), l’argument d’Aristote est correct et constitue une forme de résultat de complétude : dans tout sullogismos, attendu que les prémisses soient des propositions catégoriques et forment une chaîne, la conclusion peut être obtenue des prémisses par une série d’applications de syllogismes des trois figures. Comme tous les syllogismes sont soit parfaits soit réductibles à des syllogismes parfaits, par le biais de règles jugées immédiatement évidentes, il suit qu’en fin de compte tout sullogismos (formé de proposition catégoriques et répondant au principe de la chaîne) s’obtient par un enchaînement de pas déductifs immédiatement évidents.

Bien entendu, ce résultat reste fortement limité par l’adoption du principe de la chaîne et aussi par un langage qui reste confiné aux propositions catégoriques. Il n’en reste pas moins que, par la nature de ses questionnements que nous qualifierions aujourd’hui de métathéoriques, Aristote se montre bien plus proche des préoccupations de la logique contemporaine que ne le sera une tradition aristotélicienne qui ne retiendra que les syllogismes à deux prémisses, oubliant la notion générale de sullogismos.

5. Aperçu de la syllogistique modale

A l’étude des syllogismes des trois figures, Aristote ajoute dans les Premiers Analytiques un examen de ce qu’il advient des syllogismes lorsqu’interviennent dans les prémisses les modalités du nécessaire et du possible. Ce prolongement modal de la syllogistique présente cependant plusieurs difficultés, sujettes à controverses. Le système modal est beaucoup plus complexe que ne l’est celui de la syllogistique dite assertorique (non modale), que nous avons discuté jusqu’ici. Nous ne pourrons dans cet article en présenter qu’une esquisse, donnant à voir quelques-unes des difficultés auxquelles il donne lieu. Pour plus de détails, nous renvoyons le lecteur intéressé aux excellentes monographies de Malink (2014), de Patterson (1995) et de McCall (1963).

Aristote construit sa syllogistique modale en utilisant la syllogistique assertorique comme une trame ou un fil conducteur. En effet, dans la plupart des cas, il étudie ce qu’il advient des syllogismes des trois figures lorsque chacune des prémisses est soit renforcée en nécessaire, soit affaiblie en possible, soit laissée sans modalité. Dans les chapitres I.8-I.12, il commence par examiner si la conclusion obtenue est nécessaire ou non lorsqu’on prend les deux prémisses nécessaires ou l’une des prémisses nécessaire, l’autre assertorique. Dans les chapitres I.13-I.22, il ajoute la modalité du possible et examine tour à tour les cas avec deux prémisses possibles, une prémisse possible, l’autre assertorique et enfin une prémisse possible, l’autre nécessaire.

Pour le lecteur d’Aristote, une première difficulté se présente dès qu’il tente de comprendre comment la modalité intervient dans les propositions. Depuis les médiévaux, on distingue classiquement deux manières de modaliser une proposition : soit ce qui est dit nécessaire ou possible, c’est la proposition toute entière (le dictum) et l’on parle de modalité de dicto, soit c’est le prédicat qui est modalisé et l’on parle alors de modalité de re. Cependant, il est connu qu’aucune des lectures de dicto ou de re ne permet de rendre compte de tous les résultats présentés dans les Premiers Analytiques. Aristote semble en effet osciller entre les deux interprétations et concevoir la modalité d’une manière essentiellement ambiguë et inhomogène. Il existe cependant une troisième voie d’interprétation qui pourrait expliquer cette impression d’ambiguïté : la modalité ne s’appliquerait ni au dictum, ni au prédicat, mais au lien (la copula) qui est exprimé entre le sujet et le prédicat dans la proposition. Patterson (1995) propose de parler alors de modalité de copula. Il faut alors se rappeler qu’il y a chez Aristote deux copulae, l’une affirmative (qui exprime que sujet et prédicat sont liés), l’autre négative (qui exprime que sujet et prédicat sont séparés). Une interprétation de copula de la modalité consiste à comprendre que ce sont la liaison ou la séparation qui sont affectés de la nécessité (ou de la possibilité) et conduit aux lectures suivantes (où nous prenons l’exemple de la nécessité) :

NecAba : a nécessairement s’applique à tout b

(Tout b est nécessairement lié à a)

NecEba : a nécessairement ne s’applique à aucun b

(Tout b est nécessairement séparé de a)

NecIba : a nécessairement s’applique à quelque b

(Quelque b est nécessairement lié à a)

NecOba : a nécessairement ne s’applique pas à quelque b

(Quelque b est nécessairement séparé de a)

Une seconde difficulté pour la syllogistique modale tient à la caractérisation des modalités elles-mêmes et aux relations logiques entre propositions modales qui en découlent. Si l’on comprend une proposition nécessaire comme exprimant non seulement que le lien (ou la séparation) a lieu, mais ne pourrait pas ne pas avoir lieu, alors on peut déterminer les deux sens dans lesquels Aristote caractérise le possible. Dans une première acception une proposition possible exprimera que le lien (ou la séparation) n’est ni nécessaire, ni impossible. Dit autrement, il y a lien (ou séparation) possible entre termes lorsqu’ils ne sont ni nécessairement liés, ni nécessairement séparés. Dans cette première acception, on parlera de possibilité bilatérale. Une caractéristique importante de cette lecture bilatérale est que nécessité et possibilité s’excluent mutuellement. Mais Aristote considère qu’une proposition possible peut également signifier simplement que le lien (ou la séparation) n’est pas impossible. Dit autrement, il y a lien possible entre termes, lorsqu’ils ne sont pas nécessairement séparés. Dans cette seconde acception, on parlera de possibilité unilatérale et il faut noter qu’un lien nécessaire est a fortiori unilatéralement possible.

Dans la syllogistique modale des Premiers Analytiques, le sens bilatéral de « possible » (ni nécessaire, ni impossible) est adopté comme sens primordial. Le sens unilatéral (simplement pas impossible) apparaît alors comme un sens jugé secondaire. Malheureusement, ce choix d’Aristote apparaît problématique et va considérablement complexifier sa logique modale. Les difficultés sont patentes dès qu’il s’agit de considérer la contradictoire d’une proposition modale. Tout d’abord, la contradictoire d’une proposition nécessaire comme « a nécessairement s’applique à tout b » n’est exprimable que par une proposition « a possiblement ne s’applique pas à quelque b », où la modalité du possible doit être prise dans le sens unilatéral, c’est-à-dire dans le sens jugé secondaire par Aristote. Ensuite, la contradictoire d’une proposition possible au sens bilatéral comme « a possiblement s’applique à tout b » ne peut s’exprimer que par une disjonction de deux propositions opposées : « a nécessairement s’applique à quelque b » ou « a nécessairement ne s’applique pas à quelque b ». A cela s’ajoute que certaines propositions s’opposant comme l’affirmation à la négation se trouvent s’impliquer mutuellement. En effet puisque le possible est compris comme ni nécessaire ni impossible, il revient au même d’affirmer la possibilité du lien entre deux termes et la possibilité de leur séparation : par exemple, « a possiblement s’applique à tout b » est équivalent à « a possiblement ne s’applique pas à tout b ».

Ces complications ont évidemment des répercussions sur les syllogismes modaux, car comme dans les cas non modaux, pour réduire les syllogismes imparfaits aux parfaits, Aristote a besoin non seulement des conversions, mais aussi de la réduction à l’impossible, qui impose de s’appuyer sur les rapports de contradiction. La difficulté se présente dès les syllogismes modaux les plus simples, à savoir ceux à deux prémisses nécessaires. Comme dans la syllogistique assertorique, deux syllogismes résistent à une réduction par simple conversion : Baroco et Bocardo. Mais alors qu’ils étaient ramenés à Barbara par réduction à l’impossible dans leurs versions assertoriques, Aristote indique (30a6-14) qu’avec deux prémisses nécessaires une réduction par ecthèse s’impose. En effet, obtenir de façon indirecte une conclusion de forme NecOca oblige à poser une hypothèse qui en est la contradictoire, à savoir une proposition possible au sens secondaire, unilatéral. Or Aristote ne donne aucune règle pour se servir d’une telle proposition dans un raisonnement. Il n’acceptera, de cas en cas, des propositions unilatéralement possibles que comme conclusions finales de raisonnements (à savoir comme propositions qui ne serviront pas comme prémisses dans la suite de la démarche).

Ce dernier cas de figure se présente avec certains syllogismes à prémisses possibles, lorsque ni la conversion, ni l’ecthèse ne sont applicables. Il en est ainsi, par exemple, de Baroco avec première prémisse assertorique et seconde prémisse bilatéralement possible. La réduction à l’impossible est ici incontournable et la conclusion est alors obtenue par rejet d’une hypothèse nécessaire ; cette conclusion ne peut donc être qu’une proposition unilatéralement possible :

Posons que b est le cas pour tout c, et qu’il est possible que a ne soit pas le cas pour quelque c : alors, nécessairement, il est possible que a ne soit pas le cas pour quelque b [conclusion visée]. Car si a était nécessairement le cas pour tout b [hypothèse, contradictoire de la conclusion visée], comme il a été posé que b est le cas pour tout c, alors a serait nécessairement le cas pour tout c (cela a été montré dans ce qui précède). Mais on a supposé qu’il est possible qu’il ne soit pas le cas pour quelque c. (39b33-38)

Dans une version symbolisée :

Baroco (assertorique, bi-possible : uni-possible)

AssAcb, BiPossOca UniPossOba

1. AssAcb Prémisse

2. BiPossOca Prémisse

3. NecAba Hypothèse

4. AssAcb 1, Répétition

5. NecAca 3, 4, Barbara (Nec, Ass : Nec)

6. BiPossOca 2, Répétition

7. UniPossOba 6, 5 contraires, rejet de 3 (possible unilatéral, car rejet du nécessaire)

Aristote ne l’indique pas ici, mais la conclusion ne peut être qu’une possibilité unilatérale. Il y a à cela deux grands désavantages : tout d’abord le possible en prémisse et le possible en conclusion sont deux modalités différentes ; enfin un tel syllogisme ne pourra pas servir d’étape intermédiaire dans une chaîne de syllogismes, car aucun autre syllogisme n’admet une prémisse modalisée en possible unilatéral. L’harmonie de la syllogistique assertorique est bel et bien perdue.

Malgré ces difficultés (et d’autres encore que nous ne pouvons aborder dans le cadre restreint de cet article), Aristote a eu le grand mérite d’être non seulement l’auteur de la première logique formelle, mais aussi celui de la première logique modale de l’histoire. Il n’en demeure pas moins que son choix de privilégier la possibilité bilatérale, choix sans doute dicté par sa métaphysique, mais choix malheureux d’un point de vue logique, l’a conduit à constituer un système d’une très grande complication. La voie de la logique modale était cependant ouverte et, dès Théophraste, c’est en privilégiant un possible unilatéral, impliqué par le nécessaire et permettant de retrouver des oppositions homogènes, que les réflexions logiques sur les modalités s’épanouiront.

6. Syllogisme et démonstration

Telle qu’elle se présente dans les Premiers Analytiques, la syllogistique est l’instrument central de la théorie aristotélicienne de la démonstration. Dès les premiers mots du traité, Aristote annonce que l’objet de l’étude qu’il mène dans les deux volumes des Analytiques est la démonstration. Mais au chapitre 4, il nous apprend également que l’étude de la démonstration suppose au préalable celle de la déduction : « car, dit-il, la démonstration est une sorte de déduction (sullogismos) » (25b30). Sans entrer dans un détail qui nous ferait sortir de l’objet de cet article et pénétrer dans la théorie de la science, précisons que la démonstration est pour Aristote une déduction productrice de connaissance, c’est-à-dire un sullogismos dont les prémisses sont préalablement connues comme vraies et nous fournissent les causes de la vérité de la conclusion. Au risque d’un regressus qui compromettrait la possibilité de la science, toute connaissance ne peut pas être démonstrative, car tout sullogismos requiert des prémisses et si l’on exige que celles-ci soient préalablement connues comme vraies, alors il faudrait qu’elles aient été déjà elles-mêmes démontrées. Pour qu’il y ait des connaissances démonstratives – celles qui forment le savoir scientifique – il faut qu’il puisse également y avoir des vérités qui soient premières et dont la connaissance puisse être immédiate et non démonstrative. L’examen de la possibilité de telles connaissances immédiates et de la façon dont la syllogistique permet à partir d’elles de constituer le savoir scientifique est l’objet des Seconds Analytiques.

A première vue la syllogistique n’est donc qu’un instrument en vue d’une théorie de la démonstration et de la connaissance démonstrative. Pourtant, comme le dit encore Aristote, « la déduction est quelque chose de plus universel » et si toute démonstration est bien une déduction, en revanche « toute déduction n’est pas une démonstration » (25b31). Comme le soutient Corcoran (2009), les Analytiques contiennent non seulement une théorie générale de la démonstration, mais aussi une théorie générale de la déduction, dans laquelle une déduction est caractérisée comme un enchaînement de pas déductifs immédiatement évidents qui montrent que la conclusion finale obtenue s’ensuit nécessairement des prémisses.

Traçant ainsi le large territoire de la déduction, Aristote fit une importante découverte logique : la déduction est neutre relativement à la vérité des prémisses et à la connaissance que nous pouvons avoir de cette vérité ; les mêmes procédés déductifs restent à l’œuvre qu’il s’agisse de tirer des conséquences à partir de prémisses vraies et connues comme telles ou que nous procédions à partir de prémisses fausses ou dont nous ne connaissons pas la valeur de vérité. Nous utilisons les mêmes procédés déductifs tant pour étendre notre connaissance que pour étendre nos opinions. Nous déduisons même parfois à partir de prémisses que nous croyons ou savons être fausses. La réduction à l’impossible en est un exemple patent, puisqu’elle consiste à déduire des conséquences impossibles à partir de prémisses dont nous croyons ou savons qu’elles ne peuvent pas toutes être vraies.

En traçant ainsi les territoires de la démonstration et de la déduction, Aristote a aussi permis la découverte d’une sorte spéciale de connaissance, une connaissance qui ne porte pas directement sur le réel : la connaissance logique. Si la notion de vérité logique reste étrangère à Aristote, sa notion de déduction permet qu’une connaissance de nature logique soit acquise : celle que des propositions, dont nous ignorons peut-être les valeurs de vérité, ont une certaine conséquence. Avec la réduction à l’impossible, par exemple, nous pouvons apprendre que des propositions sont incompatibles.

En construisant sa syllogistique, à savoir une théorie déductive spécifiquement réservée aux propositions catégoriques et en tentant d’étendre celle-ci aux propositions modales, certes Aristote est parvenu à un système dont nous avons souligné les limitations intrinsèques. Si Aristote est le premier à montrer que la valeur déductive d’un enchaînement de propositions dépend des rapports entre les formes de ces propositions et non des contenus véhiculés, son analyse de la proposition reste encore trop dépendante du langage ordinaire pour qu’il puisse tirer tous les bénéfices de cette découverte. Les difficultés que rencontrent les modernes pour caractériser d’une façon définitive et indiscutable ce qu’est une constante logique – et partant ce qu’est la forme logique d’une proposition – ne révèlent-elles pas d’ailleurs que nos logiques contemporaines, plus efficientes et indiscutablement plus générales que la syllogistique, s’avèreront un jour présenter, bien au-delà des limitations de la syllogistique, d’autres limitations du même ordre ?

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Pierre Joray
pierre.joray@gmail.com
Université de Rennes