La philosophie de A à Z

Introduction

Les mathématiques sont-elles seulement un outil que nous projetons sur le monde pour l’expliquer, ou sont-elles au contraire quelque chose d’objectif et de réel qui n’attend qu’à être découvert ? Celle-ci est sans doute une des questions centrales de la philosophie des mathématiques moderne, et c’est précisément la question à laquelle le platonisme mathématique cherche à répondre.

Selon le platonisme, les mathématiques portent sur des entités abstraites, qui existent de manière indépendante de notre pensée et de notre langage. Les mathématiques sont donc analogues aux sciences empiriques dans la mesure où elles ont comme objectif de découvrir (à l’opposé d’inventer) les vérités et les lois de l’univers mathématique. Comme un astronome qui scrute le ciel pour découvrir des nouvelles planètes ou étudier une étoile lointaine, ou comme un biologiste qui regarde à travers son microscope, le mathématicien explore donc les objets des mathématiques. Un objet mathématique est simplement ce sur quoi les mathématiques parlent, à savoir des nombres, des fonctions, des groupes, des ensembles etc.

Cette position à l’égard des mathématiques semble presque naturelle lorsqu’on pense à la pratique des mathématiques : à la façon dont les mathématiciens semblent s’efforcer pour percer les secrets d’une réalité qui leur est indépendante. Après tout, les mathématiques sont le modèle canonique de la certitude, d’une vérité inchangeable ; elles semblent quelque chose d’objectif, qui ne dépend pas de nous. Cette image commune à propos des mathématiques paraît ainsi aller dans le sens du platonisme mathématique, et soutenir le parallèle entre celles-ci et les sciences de la nature.

Mais il y a bien entendu une différence radicale entre les mathématiques et les sciences empiriques : la nature de son objet d’étude. Les entités étudiées par la physique, la biologie et les autres sciences de la nature sont localisées spatio-temporellement –elles sont concrètes ; en revanche, les entités étudiées par les mathématiques (les nombres, les ensembles, les groupes, les fonctions etc.) ne semblent pas être localisées nulle part dans l’espace ou dans le temps –elles sont abstraites.

C’est de cette nature particulière que le platonisme attribue aux objets mathématiques, que vient le problème principal associé à cette position. Comment en effet des êtres localisées spatio-temporellement (comme les êtres humains) et ayant des appareils cognitifs adaptés à ce milieu, pourraient avoir une quelconque connaissance d’entités abstraites ? Cet obstacle aux interprétations platonistes des mathématiques a motivé des positions nominalistes –le nominalisme est l’idée selon laquelle il n’existe pas des objets abstraits.


1. Le platonisme mathématique

Le terme « platonisme » renvoie naturellement à la figure de Platon. Cependant, même si une analogie pourrait être établie entre le platonisme mathématique et Platon, nous ne devons pas nous laisser tenter par la terminologie. Le platonisme mathématique est avant tout une thèse à propos de l’ontologie des mathématiques, c’est-à-dire une thèse qui concerne la nature et l’existence des objets des mathématiques. L’idée centrale du platonisme peut être divisée en trois parties :

a. Les objets mathématiques existent
b. Les objets mathématiques sont abstraits
c. Les objets mathématiques sont indépendants de nous

Chacune de ces thèses mérité une attention particulière.

a. Les objets mathématiques existent

i. Réalisme ontologique

Le platonisme affirme l’existence des objets mathématiques. Cette idée peut être appelée réalisme ontologique. Elle dit simplement que parmi l’ensemble de choses qui manifestement existent, comme des êtres humains des lions, des tables et des planètes, il y a aussi des objets mathématiques, des nombres, des ensembles ou des fonctions. Un partisan du réalisme ontologique est appelé un réaliste, un opposant est appelé un antiréaliste. Remarquons qu’un réaliste n’est pas nécessairement un platoniste, étant donné qu’on peut accepter l’idée que les objets mathématiques existent sans pour autant accepter l’idée qu’ils sont abstraits.

Mais qu’est-ce que signifie qu’un objet mathématique « existe » ? La réponse habituelle, dit brièvement, est la suivante : exister n’est autre chose qu’être un objet de référence à l’intérieur d’un un énoncé vrai. Dit autrement, l’existence d’une chose est ce qui permet de parler véridiquement de cette chose. Considérons par exemple l’énoncé « Le soleil est une étoile ». Dans celui-ci nous parlons du soleil, et nous lui attribuons véridiquement la propriété d’être une étoile -c’est-à-dire que nous disons quelque chose de vrai lorsque nous disons du soleil qu’il est une étoile. Or, nous ne pourrions pas dire quelque chose de vrai sur une chose sans que cette chose existe. Dans un énoncé ou type de discours, on appelle les entités qui doivent exister pour que cet énoncé ou discours soit vrai, les engagements ontologiques. L’énoncé « Le soleil est une étoile » est donc engagé ontologiquement envers le soleil.

Dans cette perspective, le réalisme ontologique est l’idée selon laquelle il y a au moins un énoncé vrai de la forme « il y a un x qui est P » où x dénote un objet mathématique et P une propriété. Ainsi interprétée, le réalisme ontologique n’est qu’une conséquence naturelle d’une interprétation littérale des énoncés mathématiques : des énoncés mathématiques habituels comme « le nombre 16 est pair », « il existe une infinité de nombre premiers » ou « 2+2=4 » disent exactement ce qu’ils semblent dire, à savoir qu’il y a (existe) certains objets (des nombres) qui ont certaines propriétés ou sont sous certaines relations.

Cette approche à l’existence a reçu une attention considérable et est considérée comme la position standard en philosophie. Les lecteurs intéressés peuvent consulter Quine, 1948 ; Quine, 1981c ; mais aussi Eklund, 2006 et Hylton, 2007 ; voir aussi l’introduction de Loux & Zimmerman, 2003.

ii. Pour quoi croire au réalisme ontologique ?

Deux arguments sont habituellement avancés pour défendre le réalisme ontologique : l’argument de Frege et l’argument d’indispensabilité.

L’argument de Frege

Le premier argument pour le réalisme ontologique, l’argument de Frege, peut être formulé comme suit :

  1. Des termes singuliers prétendant référer à des objets mathématiques apparaissent dans des énoncés mathématiques.
  2. Des énoncés mathématiques sont vrais.

De ces deux prémisses ont conclu :

  1. Des objets mathématiques existent.

L’argument de Frege est avancé et justifié dans le cadre d’une philosophie du langage complexe. Mais l’idée générale est la suivante : la forme syntaxique des énoncés vrais de notre langage est conçue comme reflétant la structure du monde. Dit simplement, le langage reflète la réalité. La conséquence de cette conception est la suivante : si un énoncé est vrai, alors on peut être certains que les termes singuliers dans cet énoncé réfèrent à des objets. La vérité d’un énoncé vrai est suffisante pour la référence des termes singuliers dans cet énoncé. Ainsi, si on considère qu’on peut parler du nombre 2 à partir d’un terme singulier comme « 2 », et qu’on peut lui attribuer des propriétés véridiquement (comme dans l’énoncé « 2 est un nombre premier »), alors nous devons considérer que le nombre 2 existe.

La présentation et défense de l’argument de Frege est souvent complexe. Mais les lecteurs intéressés peuvent consulter Frege, 1884 ; Panza & Sereni, 2013 ; et l’introduction de Hale & Wright, 2001. La notion de terme singulier est de difficile définition, mais dans une première approche on peut l’associer à celles de nom comptable et de nom propre, d’un point de vue grammatical.

L’argument d’indispensabilité

Le deuxième argument pour le réalisme ontologique est l’argument d’indispensabilité. On peut le formuler comme suit :

  1. On doit croire à l’existence des entités indispensables pour nos meilleures théories scientifiques.
  2. Les entités mathématiques sont indispensables pour la science.

Il suit que :

  1. On doit croire à l’existence des entités mathématiques.

L’argument d’indispensabilité présuppose fondamentalement deux idées. Premièrement, la science a une autorité et une légitimité sur la question de ce qui existe dans le monde. Si nos meilleures théories scientifiques requièrent des électrons ou des ondes gravitationnelles pour nous donner la meilleure explication des phénomènes, alors nous devons croire que les électrons et les ondes gravitationnelles existent. Et deuxièmement, les entités mathématiques font partie des entités que la science requiert pour donner la meilleure explication des phénomènes- elles sont indispensables. Une fois qu’on accepte ces deux idées, alors on doit croire que les entités mathématiques existent, pour la même raison qu’on croit que les électrons ou les ondes gravitationnelles existent.

La critique la plus influente de l’argument s’est concentrée sur l’indispensabilité des mathématiques. Hartry Field en particulier s’est efforcé de montrer comment il est possible de faire de la science sans avoir recourt aux mathématiques. Son œuvre principale Science without Numbers est très technique, mais les lecteurs intéressés peuvent consulter Field, 1989 ou Leng, 2010 pour une introduction.

L’argument d’indispensabilité a été très discuté ces dernières années. Il est souvent associé aux philosophes Willard Van Orman Quine et Hilary Putnam. Mais la défense la plus complète et systématique a été proposée par Mark Colyvan. Pour une introduction et une discussion générale voir Colyvan, 2001 ou Panza & Sereni, 2013.

b. Les objets mathématiques sont abstraits

Les objets mathématiques sont abstraits. Le platonisme fait ainsi référence à une distinction fondamentale en métaphysique : la distinction entre l’abstrait et le concret. Cette distinction est tracée habituellement à travers un critère spatio-temporel : est concret tout ce qui est spatio-temporel, et est abstrait tout ce qui n’est pas spatio-temporel. Les planètes, les tables, les êtres humains, par exemple, sont des entités qui possèdent une localisation dans l’espace et dans le temps : elles sont concrètes. En revanche, le nombre 2 ne se trouve nulle part dans l’espace ou dans le temps : il est abstrait.

Bien entendu, la pratique humaine des mathématiques a une histoire : les théorèmes ont des découvreurs, et des dates et lieux de découverte ; les conventions mathématiques que nous utilisons ont également une histoire. Mais, les objets mathématiques à quoi nos notations réfèrent, les entités qui rendent vrais nos théorèmes, semblent quant à elles être atemporelles et ne se trouver nulle part dans l’espace. Cette idée est souvent considérée comme largement intuitive et créant consensus entre réalistes et antiréalistes.

Le débat autour des objets abstraits se concentre sur deux points principaux. Premièrement, la façon de tracer la distinction entre l’abstrait et le concret ; et deuxièmement, l’existence des objets abstraits. Swoyer, 2008 fournit une excellente introduction générale aux objets abstraits. Les lecteurs intéressés peuvent également consulter Lewis, 1989 ou Rosen, 2014.

c. Les objets mathématiques sont indépendants de nous

Selon le platonisme, les objets mathématiques sont indépendants. Ceci peut vouloir dire deux choses différentes, mais non exclusives. Premièrement, l’indépendance peut être indépendance de l’esprit des êtres humains. Ce qui revient à dire que les mathématiques sont objectives : leur vérité ne dépend pas de notre langage, de nos conventions ou de notre pensée. Si l’énoncé « 2+2=4 » est vrai, il est vrai indépendamment de notre esprit. Et deuxièmement, les objets mathématiques peuvent être considérées comme ontologiquement indépendants : c’est-à-dire qu’ils n’ont besoin d’aucun autre type d’objet pour exister.

L’indépendance ontologique est peu discutée dans la littérature sur le platonisme, et peu de positions en philosophie des mathématiques vont à l’encontre de l’objectivité des mathématiques. Mais une importante école en philosophie des mathématiques soutient, en opposition au platonisme, une certaine forme de subjectivité des mathématiques, l’intuitionnisme. Les lecteurs intéressés peuvent consulter Heyting, 1956 ou Largeault, 1992, pour une introduction à l’intuitionnisme. Les notions d’indépendance et dépendance ontologique sont traités dans des textes plus avancés, mais Correia, 2008 fournit une introduction abordable.


2. Problèmes du platonisme

Bien qu’il y ait des objections d’ordre métaphysique envers le platonisme (notamment Benacerraf, 1965), le défi principal reste de type épistémologique. L’épistémologie est la branche de la philosophie qui d’intéresse à expliquer et étudier la connaissance, la croyance et la justification. La connaissance perceptuelle est probablement le cas le plus simple de connaissance. Par exemple, je sais que devant moi il y a un livre rouge parce que je perçois devant moi un livre rouge. Mais il y a des types de connaissance dont l’explication est plus complexe. Considérons par exemple, la connaissance scientifique. Sans doute, il y a quelque chose due à la perception – après tout, nous observons les planètes et les cellules. Mais pas seulement : la science a recourt a des inductions et des déductions, à des modèles mathématiques, et à des instruments destinées à modifier les capacités perceptuelles normales des êtres humains, pour édifier son corps de connaissances. La connaissance scientifique va donc bien au-delà de la perception. Mais elle reste assurément une connaissance empirique dans le sens où elle repose sur l’observation, l’expérience et l’expérimentation.

Qu’en est-il de la connaissance mathématique ? Nous ne pouvons pas observer un nombre comme nous observons une planète. Nous ne pouvons pas non plus, faire des expériences pour tester une hypothèse mathématique. Comment acquérons-nous alors la connaissance mathématique ? Celle-ci est une question fondamentale pour la philosophie des mathématiques, et pour le platonisme en particulier. Toute interprétation des mathématiques, qu’elle soit réaliste ou antiréaliste doit proposer ou s’adapter à une explication plausible de la connaissance mathématique (à une épistémologie des mathématiques).

Mais quelle épistémologie proposer dans une interprétation platoniste des mathématiques ? Selon le platonisme, les mathématiques portent sur un domaine d’objets abstraits. Ceci signifie d’emblée qu’on ne peut pas expliquer la connaissance mathématique de la même façon que la connaissance empirique étant donné que nous ne pouvons avoir aucune expérience d’objets en dehors de l’espace et du temps. L’observation et l’expérience en effet portent sur des objets concrets, qui sont à la portée de notre appareil cognitif. Il est alors difficile de voir comment on pourrait avoir une quelconque connaissance des objets abstraits. Le platonisme mathématique affronte donc le défi d’expliquer la connaissance, la croyance et la justification en mathématiques, sous l’hypothèse du caractère abstrait de ces objets.

Ce problème est parfois interprété faussement comme une objection. Mais il représente plutôt un défi au platonisme. Plusieurs versions de ce défi existent, ainsi que des réponses à celui-ci. Une réponse très influente historiquement est celle de Kurt Gödel : nous avons une faculté (qu’il appelle « intuition ») qui nous permet d’avoir une expérience des objets abstraits. Mais les épistémologies de ce type, malgré leur influence, sont aujourd’hui minoritaires (Brown, 2012 en est un exemple). Actuellement, les réponses tendent à être assez complexes, mais les lecteurs intéressés peuvent consulter Linnebo, 2008. Panza & Sereni, 2013 fournit un excellent examen du problème épistémologique et des différentes réponses (réalistes et antiréalistes) dans la littérature.


Conclusion

Le platonisme nous exhorte à sortir d’une vision physicaliste de l’existence : la réalité n’est pas épuisée par les objets physiques. Cette position n’est pas anti-scientifique. Bien au contraire, un des arguments principaux pour le platonisme est la reconnaissance des entités que nous présupposons pour faire de la science, puisque au quotidien, comme dans la science, nous parlons constamment d’objets qui ne se trouvent nulle part ni dans l’espace, ni dans les temps : des états, des lois, des équipes de football, des nombres, des fonctions etc.

Le platonisme mathématique fournit l’interprétation la plus naturelle du discours mathématique et s’adapte bien aux impressions que nous avons lors de la pratique des mathématiques. Cependant, un défi de taille doit être relevé. Le platoniste nous doit une explication de comment sa conception des objets mathématiques s’adapte dans une épistémologie générale des mathématiques.

Le platonisme enfin n’est pas une position unique, mais plutôt une famille de positions en philosophie des mathématiques. Actuellement, en effet, il existe une grande variété de positions pouvant être qualifiés de platonistes et différenciées par leur conception des entités mathématiques, leur raison pour maintenir l’existence de ceux-ci et leur explication de la connaissance mathématique. Parmi les plus importantes se trouvent le structuralisme, le néo-frégéanisme et le platonisme scientifique. Sur le premier voir Shapiro, 1997 ; sur le néo-frégéanisme voir Hale & Wright, 2001 ; sur le platonisme scientifique voir Colyvan, 2001. Voir Panza & Sereni, 2013 ou Burgess & Rosen, 2013 pour un examen général des variétés de platonisme, ainsi que des débats autour de lui.


Bibliographie

a. Lectures introductives 

Benacerraf P. (1973) « Mathematical Truth » in Benacerraf & Putnam, 1983, pp.403-420.
Un article désormais classique, où Benacerraf avance son défi épistémologique au platonisme. Une lecture obligatoire sur le sujet du platonisme, et pour la philosophie des mathématiques en général.

Benacerraf P. & Putnam H. Philosophy of Mathematics, Selected Readings, Cambridge : Cambridge University Press, 1983.
Un recueil classique en philosophie des mathématiques. Il contient des articles phares sur l’intuitionnisme, le formalisme et le logicisme, ainsi que sur l’ontologie des mathématiques, la vérité mathématiques et la théorie des ensembles.

Bernays P. (1935) « On Platonism in Mathematics » in Benacerraf & Putnam, 1983, pp. 258-271.
Cet article est sans doute à l’origine du terme « platonisme mathématique ». Il fournit une des premières analyses de la pratique des mathématiques sous une perspective platoniste, ainsi qu’une discussion de l’intuitionnisme de Brouwer. Il est à remarquer que la notion de « platonisme » de Bernays correspond plus à la tendance à utiliser des méthodes des mathématiques classiques (comme le tiers exclu, l’axiome du choix ou les définitions imprédicatives) qu’une thèse métaphysique à propos de l’ontologie des mathématiques.

Burgess J. & Rosen G. A Subject with No Object, Oxford : Oxford University Press, 1997.
Dans cet ouvrage Burgess et Rosen fournissent une étude détaillée du nominalisme et de ses stratégies d’interprétation des mathématiques. Il contient une excellente introduction à l’ensemble du débat entre platonisme et nominalisme.

Colyvan M. The Indispensability of Mathematics, New York : Oxford University Press, 2001.
Une des défenses les plus complètes et systématiques de l’argument de l’indispensabilité des dernières années. L’ouvrage est abordable et est une bonne introduction au débat autour de l’argument.

Frege G. (1884) Les Fondements de l’Arithmétique, Paris : Éditions du Seuil, 1969.
Un ouvrage fondamental en philosophie des mathématiques qui présente, d’une manière non technique, le platonisme de Frege. Le livre n’est pas une lecture facile, mais est une bonne porte d’entrée à la philosophie des mathématiques.

Field H. Science without Numbers, Oxford: Blackwell, 1980.
Dans cet ouvrage Field avance sa critique à l’argument d’indispensabilité, et développe son projet de nominaliser la science. L’ouvrage est hautement technique, mais les premiers chapitres sont abordables.

Gödel K. (1947) « What is Cantor’s Continuum Problem? » in Benacerraf & Putnam, 1983, pp. 470-485.
Dans cet article, Gödel fournit une des plus claires expositions de son platonisme. Un article classique dans la littérature sur le platonisme mathématique.

Largeault J. Intuitionnisme et théorie de la démonstration, Paris : Vrin, 1992.
Un recueil d’articles sur l’intuitionnisme et la théorie de la démonstration de Hilbert. Il contient notamment plusieurs articles philosophiques de Brouwer abordables et une bonne introduction à l’intuitionnisme.

Loux M. & Zimmerman D. (ed.) The Oxford Handbook of Metaphysics, Oxford : Oxford University Press, 2003.
Un recueil d’articles de plusieurs auteurs sur des sujets comme le problème des universaux, passant par la philosophie du temps, l’identité, la modalité et le vague. L’introduction fournit un bon aperçu de la métaphysique contemporaine.

Panza M. & Sereni A. Plato’s Problem, Basingstoke : Palgrave Macmillan, 2013.
Un excellent ouvrage sur le platonisme, contenant des discussions intégrales sur le nominalisme, le platonisme de Frege, l’argument d’indispensabilité, les problèmes de Benacerraf et les réponses récentes apportés au défi épistémologiques. Il contient une section sur l’histoire du platonisme –un trait inhabituel pour ce type d’ouvrage.

Quine W.V. (1948) « On What There Is » in From a Logical Point of View, Cambridge M.A.: Harvard University Press, 1980, pp. 1-19.
Un article fondamental pour la métaphysique contemporaine. Il s’agit du locus classicus de l’analyse de l’existence de l’ontologie standard.

Quine W. V. Theories and Things, Cambridge M.A.: Harvard University Press, 1981c.
Un recueil contenant plusieurs articles phares de la philosophie de Quine, portant sur des sujets comme le naturalisme, l’holisme de la confirmation et l’argument d’indispensabilité.

Rosen, G. « Abstract Objects » in The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2014, E. Zalta (ed.) URL = http://plato.stanford.edu/archives/fall2014/entries/abstract-objects/.
Dans cet article Rosen fournit une excellente discussion de la problématique des objets abstraits, et du débat sur les manières de tracer la distinction entre l’abstrait et le concret.

Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology, Oxford: Oxford University Press, 1997.
Cet ouvrage présente une claire et complète exposition du structuralisme mathématique. Il fournit également une bonne introduction générale au platonisme et à la philosophie des mathématiques.

Swoyer C. « Abstract Entities » in T. Sider, J. Hawthorne & D. Zimmermann (eds.) Contemporary Debates in Metaphysics, Oxford: Blackwell, 2008, pp. 11-31.
Cet article est une très bonne introduction aux objets abstraits.

Wright C. Frege’s Conception of Numbers as Objects, Aberdeen: Aberdeen University Press, 1983.
Un livre difficile, mais fournit une étude approfondi du platonisme frégéen et un développement du programme néo-frégéen.


b. Pour aller plus loin

Benacerraf P. (1965) « What Numbers Could Not Be » in Benacerraf & Putnam, 1983, pp. 272-294.

Brown J.R. Platonism, Naturalism and Mathematical Knowledge, New York: Routledge, 2012.

Eklund M. « Metaontology » in Philosophy Compass, Vol. 1, No. 3, 2006, pp. 317-334.

Field H. Realism, Mathematics and Modality, Oxford: Basil Blackwell, 1989.

Gödel K. (1944) « Russell’s Mathematical Logic », in Benacerraf P. & Putnam H. Philosophy of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, pp. 447-469.

Hale B. Abstract Objects, Oxford: Basil Blackwell, 1987.

Hale B. & Wright C. The Reason’s Proper Study, Oxford: Oxford University Press, 2001b, pp. 91-116.

Heyting A. Intuitionism, an introduction, Amsterdam: North Holland, 1956.

Hylton P. Quine, New York : Routledge, 2007.

Kitcher P. The Nature of Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press, 1984.

Leng M. Mathematics and Reality, Oxford : Oxford University Press, 2010.

Lewis D. On the Plurality of Worlds, Oxford : Blackwell, 1986.

Linnebo Ø. « Epistemological Challenges to Mathematical Platonism » in Philosophical Studies: An International Journal in the Analytic Tradition, Vol. 129, No. 3, 2006, pp. 545-574.

Maddy P. Realism in Mathematics, Oxford : Oxford University Press, 1990.

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Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Oxford University Press, 1997.

Van Heijenoort J. From Frege to Gödel, Cambridge M.A. : Harvard University Press, 1967.

Felipe Bravo
Université Paris Sorbonne IV
felipebravo9@hotmail.com