La philosophie de A à Z

Résumé

L’histoire de la logique contemporaine est mue par un double mouvement opposé et complémentaire : celui, centripète et initial, d’élaboration de la logique standard, puis celui, centrifuge, d’émergence d’alternatives internes et externes à cette logique. Une telle pluralité des logiques pose la question du sens à donner à cette efflorescence d’une multitude de systèmes logiques et celle de l’unité qui justifie que ces systèmes formels, si divers et contradictoires soient-ils, peuvent tous être qualifiés de logiques. Elle conduit aussi in fine à articuler de façon pragmatique les relations entre les choix pré-théoriques initiaux et les théorisations et formalisations secondes.


Table des matieres

1. De la logique moderne

2. De l’histoire de la logique contemporaine

a. La constitution de la logique standard

b. L’efflorescence des logiques

3. Les alternatives

a. Alternatives pour la logique standard

i. La diversité des présentations

ii. La latitude des interprétations

b. Les alternatives à la logique standard

4. La logique et les logiques

5. Dimension pragmatique des systèmes formels

6. L’ouverture des possibles

Bibliographie


Logique et philosophie sont liées dès l’origine de la réflexion humaine tant dans la tradition grecque qu’indienne (on trouve dans Bocheński (1970, 416-447) une précieuse présentation de la logique indienne du Nyaya-sutra). On ne saurait ignorer l’Histoire – comme reprise réflexive d’un mouvement temporel – de la longue histoire de cette mutuelle fécondation intellectuelle. Longtemps on a appréhendé l’Histoire du développement de la logique occidentale de la période de constitution antique à son développement scolastique, puis à l’interprétation classique de façon purement antiquaire (Blanché, 1970, 127). En fait, l’Histoire de la logique ne s’est constituée comme discipline scientifique qu’au vingtième siècle à partir du moment où l’on a pu utiliser l’outil logique nouveau pour l’appliquer rétrospectivement au développement historique de la logique. Ce fut le fait principalement des éminents travaux d’Heinrich Scholz (1968, 107), Jan Łukasiewics et Józef Maria Bocheński (1970, 4-10). Désormais l’Histoire de la logique était écrite par d’authentiques logiciens. On leur doit notamment la redécouverte de la logique propositionnelle de l’école mégarico-stoïcienne (Łukasiewics, 2013). Ainsi la réflexion philosophique peut-elle désormais s’appuyer sur des données Historiques fiables et fécondes. À la lumière de telles données, nous proposons dans ce qui suit de dégager les lignes de force du développement de la logique depuis le début du vingtième siècle. Nous montrerons que l’histoire de la logique contemporaine est mue par un double mouvement opposé et complémentaire : celui, centripète et initial, d’élaboration de la logique standard, puis celui, centrifuge, d’émergence d’alternatives internes et externes à cette logique.


1. De la logique nouvelle

La logique contemporaine naît à l’aube du XXe siècle avec notamment Peirce, Frege et Russell. Charles Sanders Peirce opéra la critique de l’algèbre de George Boole et s’inspira de la théorie des relations d’Augustus De Morgan. Reprenant l’explicitation des opérations de quantification universelle et existentielle par son élève Oscar Howard Mitchell, il put dès 1885 proposer une « Algèbre de la logique » qui contenait l’essentiel des calculs des propositions et des prédicats, monadiques et polyadiques (Peirce, 2006). Négligeant trop souvent ce travail de pionnier, on date généralement l’invention de la logique contemporaine au moment de la publication en 1879 par Gottlob Frege de sa Begriffsschrift qui, outre les trois calculs logiques, proposait une réduction de la théorie arithmétique des nombres à la nouvelle logique (Frege, 1999). Quant à Bertrand Russell, qui découvrit au Congrès International de Philosophie à Paris en 1900 les travaux de Giuseppe Peano, il publia un calcul formalisé des relations (Russell, 1901), puis, sur un mode informel quoique parfaitement rigoureux, proposa en 1903 dans ses Principles of Mathematics de jeter les fondements des calculs des propositions et des fonctions à une ou plusieurs variables, de réduire à cette nouvelle logique l’arithmétique et les géométries ainsi que la dynamique rationnelle (Russell, 1989).

À l’aube du XXe siècle, ces travaux principiels produisirent un triple bouleversement :

1°) Ils contribuèrent à édifier la nouvelle logique composée des calculs des propositions, des prédicats monadiques et des relations. Le calcul des propositions a retrouvé et fortement développé les intuitions inaugurales des Mégariques. Le calcul des prédicats s’est émancipé des ornières de la syllogistique traditionnelle. Quant au calcul des relations, il constitue la novation majeure de la logique formelle contemporaine assurant sa fécondité conceptuelle et sa puissance analytique.

2°) Dès le début, Frege et Russell eurent l’ambition d’utiliser les potentialités inédites de la nouvelle logique pour y réduire la théorie des nombres (Frege) et plus généralement l’ensemble des mathématiques, géométries comprises (Russell). Ce projet logiciste, qui finalement échoua, donna naissance à la grandiose construction formelle des Principia Mathematica dont le premier volume parut en 1910 (Russell & Whitehead, 1973 ; Vernant, 1993).

3°) Enfin, le recours aux méthodes d’analyse et de conceptualisation de la logique nouvelle pour résoudre – ou dissoudre – les questions philosophiques traditionnelles donna naissance à la philosophie analytique dont on peut trouver l’expression la plus claire dans l’article fameux « On Denoting » de 1905 ainsi que dans l’ouvrage paru en 1917 de Russell (1989 ; 2002).


2. De l’histoire de la logique contemporaine

Il ne faudrait toutefois pas croire que la nouvelle logique naquit parfaite et achevée des cerveaux gémellaires de Frege et Russell. En fait, elle s’est constituée progressivement à la suite de nombreuses modifications et repentirs mobilisant nombre de logiciens postérieurs tout au long du vingtième siècle.

a. La constitution de la logique standard

Ce n’est que progressivement, à partir de l’invention des nouveaux calculs logiques, que s’est élaboré le concept générique de système formel définissable par sa triple dimension syntaxique, sémantique et métalogique.

– Ainsi, longtemps la dimension syntaxique demeura implicite et il fallut attendre les années trente pour que soit définie la syntaxe logique comme procédure récursive d’engendrement des seules formules bien formées du système. En résulta le concept de formule douée de sens, crucial à la fois pour la technique logique et pour la philosophie du langage (Wittgenstein, 1971, 210 & 214 ; Carnap, 1934).

Mais si la logique se présente d‘abord comme un langage dont il faut contrôler la syntaxe, c’est également un calcul, c’est-à-dire un processus algorithmique se déployant en un nombre fini d’étapes dont il faut dégager les règles d’engendrement. D’où les réflexions sur la calculabilité et la prouvabilité initiées par Alan Turing (1936-7) en termes de calculabilité effective par une machine abstraite et par Alonzo Church (1936) en termes de fonctions récursives.

– De même, la séparation nette entre syntaxe et sémantique prit du temps. Frege (1971) inaugura les études sémantiques avec son analyse de l’identité et sa distinction entre sens et référence. Mais il fallut attendre Alfred Tarski (1972) pour que soit élaborée pour elle-même la dimension sémantique d’un système logique grâce notamment à ses travaux sur la définition du concept de vérité qui donnèrent naissance à la théorie des modèles.

– enfin, alors qu’en 1903, au nom d’une approche universaliste de la logique, Russell récusait explicitement toute approche métalogique et confondait encore dans les Principia Mathematica axiomes et règles d’inférence, on dut attendre Stanisław Leśniewski (1989, chap. 1) pour qu’en 1916 soit clairement séparés langage et métalangage et qu’à la suite des travaux métamathématiques de David Hilbert (1919) soit dégagée la dimension proprement métalogique de tout système logique. Dès lors, chaque système formel devait être contrôlé au niveau métalogique par des contraintes de consistance, de complétude, de décidabilité, d’indépendance et d’économie des axiomes (Post, 1972 ; Martin, 1964).

Au terme de ce processus de maturation, se constitua ce que nous appelons la logique standard caractérisée par le métaprincipe de bivalence et les antiques « principes » d’identité, de non-contradiction, de tiers exclu ainsi que l’usage de la reductio ad absurdum (Vernant, 2001). Ce qui, en recourant au connecteur adéquat de l’incompatibilité, peut se résumer ainsi pour le calcul propositionnel :

On a en effet ¬p p p et ¬(p • ¬p) (p ¬p), d’où in fine p ( p p). De plus, on a (p v ¬p) (¬p p) et (p p) (¬p v p) (p ¬p). Dès lors, la formule p ( p p) synthétise tous les « principes » en question. Ceci explicite l’idée de Vasiliev (2003) selon laquelle c’est le choix de l’incompatibilité qui gouverne la logique standard.

b. L’efflorescence des logiques

Pendant une bonne décennie, cette logique standard a pu être considérée, notamment par Frege, Russell et Wittgenstein, comme la seule possible, expression d’une rationalité universelle, soubassement obligé et unique de tout système déductif.

Toutefois, à peine stabilisée, cette logique s’est vue amendée, critiquée et contestée par l’efflorescence d’une multitude de systèmes formels alternatifs. L’apparition de nouvelles logiques dès le début des années dix neuf cent dix – au moment même où paraissait le premier volume des Principia Mathematica –établit définitivement l’irréductible pluralité des logiques. Désormais, parler de la logique ne signifie plus l’unicité, mais la généricité.

Dans ce qui suit, nous lirons l’histoire de la logique contemporaine comme le résultat d’un double procès d’émergence d’alternatives internes à la logique standard et d’inventions d’alternatives externes à la logique standard conduisant à la création de systèmes différents et opposés. Il nous restera in fine à nous interroger sur le sens à donner à cette efflorescence d’une multitude de systèmes logiques et sur l’unité justifiant que ces systèmes formels, aussi divers et contradictoires soient-ils, puissent tous être qualifiés de logiques.


3. Les alternatives

Manifestant la fécondité de la recherche logique contemporaine, le mouvement d’élaboration de la logique standard s’est accompagné, avec un léger décalage d’une décennie, d’un mouvement inverse d’émergence de choix techniques et philosophiques différents qui ont engendré des alternatives conduisant à la construction de logiques nouvelles, mais aussi et d’abord à des présentations et des interprétations différentes de la logique standard elle-même.

a. Alternatives pour la logique standard

Les alternatives offertes dans le cadre de la logique standard prennent principalement deux formes générales : celle des modes de présentation du système formel standard et celle des interprétations de ses concepts.

i. La diversité des présentations

La logique standard comme système formel reçut progressivement plusieurs présentations alternatives. Dès 1921, Emil Leon Post (1972) insista sur la différence entre les présentations axiomatique et matricielle du calcul logique. Bien que Jan Łukasiewicz ait constamment prôné la supériorité de la présentation axiomatique, en 1930, Stanisław Jaśkowski (1967) et Gerhard Gentzen (1934) ont proposé indépendamment l’un de l’autre une troisième présentation : par déduction naturelle. À quoi s’ajouta dans les années soixante la présentation dialogique de Paul Lorenzen et Kuno Lorenz (1978). Cette présentation fut à l’origine conçue pour la logique intuitionniste, mais elle s’applique aisément à la logique standard en changeant une règle structurelle (il suffit d’autoriser la répétition d’une attaque). En ces cas, il s’agit de dialogues agonistiques. Nous avons montré que l’on pouvait construire une logique dialogique déductive coopérative qui relève de la logique standard (Vernant, 2012). Enfin, fut élaborée une présentation en termes de sémantique des mondes possibles par Jaakko Hintikka (1969) et Saul Kripke.

La leçon à tirer du déploiement de telles alternatives est celle de faire le départ entre le mode discursif de présentation et le noyau systématique de la logique considérée. En résulte l’émergence du concept générique de système formel pour caractériser toute construction déductive, et, partant, le rôle crucial dévolu à sa maîtrise métalogique. Devenant mature, la logique s’avérait capable non seulement d’une complète formalisation, mais aussi et surtout de réflexion et de contrôle critiques sur elle-même.

ii. La latitude des interprétations

Le second aspect de l’intrusion d’alternatives au sein même de la logique standard réside dans la pluralisation des choix techniques et philosophiques relatifs aux concepts centraux des calculs. La latitude porte alors sur l’interprétation des concepts, voire même plus généralement des calculs.

– L’exemple le plus patent est celui de l’interprétation proposée par Frank Plumpton Ramsey (1978). Sans en rien mettre en cause le système formel des Principia Mathematica, Ramsey, s’inspirant de Wittgenstein, en proposa une lecture « transcendantale » qui conduisit à réinterpréter de façon « objective » les concepts de conjonction, disjonction, classe, etc. Ainsi Ramsey admettait-il parfaitement la possibilité de conjonctions ou de disjonctions infinies comme de classes infinies indéfinissables, les limitations de nos capacités épistémiques ne devant pas intervenir en logique. Il en allait de même pour l’appréhension sémantique des concepts. Il en résultait qu’il convenait de séparer antinomies sémantiques et linguistiques de celles proprement logiques et donc de simplifier la théorie des types ainsi que de réinterpréter de façon inédite les axiomes mathématiques (multiplicatif et d’infini) (Vernant, 1998).

– Héritant de l’universalisme de Frege et Russell, la première interprétation des quantificateurs fut objectuelle. Ainsi une proposition existentiellement quantifiée n’est vraie que si l’on peut exhiber une constante d’individu qui satisfait la fonction en question : Fa xFx. La constante a vaut alors comme nom propre d’un individu fourni par le domaine d’application. Dès lors la proposition existentielle impose un engagement existentiel à partir d’un domaine d’individu donné préalablement. Toutefois dans le contexte nouveau de la logique modale ontique Ruth Barcan-Marcus (1961) suggéra une interprétation purement substitutionnelle en ce qu’elle ne requiert plus d’engagement sur des individus ou objets dont il faut assumer sous une forme ou sous une autre l’existence. Ainsi, la quantification, (re)devenue particulière, n’impose plus que de trouver un terme, un nom qui réponde à la prédication. On a Ft xFx où cette fois t est un simple terme qui permet d’engendrer la phrase vraie Ft. Une telle interprétation autorise notamment un traitement unifié des contextes intensionnels (Vernant, 1986).

– De même, mais de façon plus limitée, bien qu’il ait adopté la théorie russellienne de la quantification et son interprétation objectuelle, Quine propose un critère d’engagement ontologique différent fondé sur le recours à la quantification existentielle des variables d’individu et non, comme chez Russell, sur l’irréductibilité des symboles (Vernant, 2006).

b. Les alternatives à la logique standard

Bien entendu, le mouvement alternatif prend toute sa dimension lorsqu’il s’affirme comme alternative à la logique standard elle-même. Il engendre alors une logique alternative et non plus seulement une présentation ou une interprétation différentes de la logique standard (Haack, 1974).

– Ce mouvement trouve son origine dans l’apparition de la logique « imaginaire » de Nicolaï Alexandrovich Vasiliev mettant en cause la bivalence de la logique standard. Par analogie avec la « géométrie imaginaire » de Nikolaï Ivanovich Lobatchevski (1837), il propose le 18 mai 1910 pour son accession au titre de privat-dozent à l’université de Kazan une logique qui, admettant en plus des propositions vraies ou fausses d’autres « indifférentes » ni vraies ni fausses, récusait les « principes » traditionnels de non-contradiction et du tiers exclu (Vasiliev, 2003).

– À sa suite et indépendamment, l’un des fondateurs de l’École de Lvov-Varsovie, Jan Łukasiewics (2013 a) mit explicitement en cause ce qu’il appela le « principe de bivalence » chrysippéen et proposa une logique trivalente admettant comme tierce valeur le possible. Parallèlement, Emil Leon Post (1972) généralisa cette approche en élaborant une logique plurivalente admettant éventuellement une infinité dénombrable de valeurs (notons que dès 1909 Peirce avait esquissé un système triadique (Fisch & Turquette, 1966)).

– Łukasiewics (1972) utilisa ses systèmes, trivalent, puis quadrivalent, pour formaliser la question aristotélicienne des futurs contingents. Ce fut le début de la construction des multiples logiques ontiques rendant compte des modalités aléthiques de nécessité, possibilité, impossibilité, contingence, etc.

– Pour une part par analogie avec les logiques ontiques et indépendamment l’un de l’autre, le polonais Georges Kalinowski (1953) et le finlandais Georg Henrik von Wright (1951) inventèrent des systèmes de logique déontique portant sur les modalités d’action, telles l’interdiction, la permission, l’obligation, etc.

– Dans la foulée, surgirent des logiques temporelles, doxastique (de la croyance) et épistémique (de la connaissance), ainsi que des logiques de l’action héritières de la logique déontique (pour une présentation en termes de mondes possibles des logiques ontiques, déontiques, temporelles, doxastiques et épistémiques, Gardies, 1979).

– La logique intuitionniste élaborée par Arend Heyting (1930) n’est autre que la formalisation de la conception que se faisait Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1975) des mathématiques. Selon lui, à la différence de la logique, purement discursive et formelle, la mathématique est contentuelle et repose sur une appréhension intuitive de ses objets par une expérience effective des procédures de preuve par le Soi, sujet connaissant. Ainsi l’infini ne peut être appréhendé qu’en puissance, en devenir, par l’opération d’itération de l’unité. La reductio ad absurdum ne saurait dès lors valoir en mathématique car le fait de démontrer que la négation de A est contradictoire ne remplace en rien l’éventuelle preuve de A. La non-contradiction n’assure pas la prouvabilité qui relève d’une procédure constructive : On n’a pas ¬¬A A, par contre, on a bien A ¬¬A : si A est vraie (prouvée), alors A est non-contradictoire. Dès lors, la logique intuitionniste ne saurait admettre le tiers exclu ni la double négation. On a ¬A ¬¬¬A, mais non A ¬¬A. Quant au conditionnel et à l’existentiel, ils reçoivent une interprétation constructive ; ainsi asserter l’existence d’un objet requiert de le construire.

– De même façon, la logique quantique a été inventée par John von Neumann (1992) ; par Hans Reichenbach (1944) qui utilise une logique trivalente dont la tierce valeur est « indéterminé » admettant trois formes de négation, trois de conditionnel et deux de biconditionnel) ; et par Paulette Destouche-Février (1951) dont la logique trivalente a pour tierce valeur « absolument faux » et dédouble négation, conjonction et disjonction inclusive. Seule la disjonction et la conjonction fortes admettent la distributivité) pour rendre compte de la logique propre à la nouvelle physique quantique. Ainsi, le principe d’incertitude d’Heisenberg disqualifie la commutativité de la conjonction et de la disjonction inclusive.

– Dès 1948, Stanisław Jaśkowski (1969) élabora une logique discussive pour rendre compte de la contradiction entre plusieurs interlocuteurs dans une conversation. Il était ainsi précurseur de la logique paraconsistante qui tout en étant contradictoire n’est pas triviale. Si la plupart des logiques, standard comme alternatives, sont consistantes en ce qu’elles n’admettent pas la contradiction qui, pour elles, conduit à déduire n’importe quelle proposition en vertu du principe d’explosion ex contradictione sequitur quodlibet : (A  • ¬A) B, il est toutefois possible de construire des logiques qui admettent la contradiction sans exploser. De telles logiques permettent de rendre compte formellement de la contradiction, des paradoxes (Priest, 2007) et des incohérences (da Costa, 1963 ; Béziau, 1999).

– Alors que la logique standard adopte une conception distributive des classes selon laquelle appartiennent à la classe les éléments qui possèdent la propriété qui la définit, Stanisław Leśniewski a proposé dès 1916 sa Méréologie qui est un calcul portant sur des classes conçues comme des totalités composées de parties qui dès lors ne sont plus soumises au paradoxe russellien des classes (Leśniewski, 1989).

– Considérons un dernier exemple – parmi beaucoup d’autres que nous ne pouvons aborder ici – de logique alternative mettant en cause un élément crucial de la logique standard : la détermination bipolaire du concept : (Fx v ¬Fx). Cette détermination peut être libérée de la contrainte bipolaire en passant d’une réponse en tout ou rien à une réponse en plus ou moins. Si certains prédicats imposent un choix binaire entre l’ensemble qu’ils déterminent et son complémentaire, d’autres, nombreux, n’acceptent pas une telle dichotomie et requièrent au contraire une quantification graduelle. C’est le cas de prédicats vagues, tels ceux d’espace (taille, dimensions, poids, etc.), de temps (durée, âge, etc.) et bien d’autres encore (on aime « un peu, beaucoup, à la folie, pas du tout » et – pour reprendre le sorite mégarique – à partir de quel moment devient-on chauve ?), etc. Dès lors, la déterminabilité conceptuelle se gradualise. La logique floue inventée par Lotfi Askar Zadeh (1965) a précisément pour objet de formaliser une telle déterminabilité conceptuelle graduelle. Elle revient à assouplir la subsomption sous le concept par une fonction qui la distribue sur un ensemble de valeurs pris dans l’intervalle continu [0,1]. Ainsi un homme est-il plus ou moins chauve Cx, ou chauve à 0,6. La bivalence est remplacée par une graduation de la vérité et ni la non-contradiction ¬(Cx • ¬Cx), ni le tiers exclu (Cx v ¬Cx) ne valent désormais absolument. La valeur (V) de ¬p est 1-V(p) ; V(pq) = minimum(Vp,Vq) ; V(p v q) = maximum(Vp,Vq), V(p q) = 1-min.(Vp,1-Vq). Dès lors, V(p • ¬p) = min.[V(p), 1-V(p)] et V(p v ¬p) = max.[V(p), 1-V(p)].


4. La logique et les logiques

Les alternatives à la logique standard, tant internes qu’externes, interdisent que l’on puisse considérer la logique comme un système formel unique qui comme le pensèrent ses fondateurs exprimerait les lois a priori de la pensée et fournirait les règles de déduction nécessaires et d’application absolument universelle. S’impose désormais la pluralité des systèmes logiques et leur relativité à des champs d’application spécifiés et limités. Pour autant, l’on peut continuer à parler de la logique pour appréhender cette fois la généricité de ce type de calcul. Après tout, on sent bien que la logique n’est pas la mathématique, la physique, etc. Mais peut-on assigner à cette généricité autre chose qu’une simple commodité de langage ? Dans leur extrême multiplicité et diversité les logiques auraient-elles quelque chose de commun ? Ce sont, en tant que purs calculs, des systèmes formels structurés syntaxiquement, sémantiquement et contrôlés métalogiquement. Un tel cadre partagé reste toutefois fort large, car peuvent différer les modes de présentation, les « principes » logiques, le nombre des valeurs de vérité, les règles d’inférence, etc. Il est jusqu’aux contraintes métalogiques qui demeurent locales, propres à chaque système. Tel système est décidable, tel autre non : ainsi la logique des relations n’est-elle plus décidable. Tel est consistant, tel autre simplement non trivial ; tel bivalent, tel autre plurivalent, etc.

Pour autant, on peut aller plus loin pour justifier la généricité du terme de logique utilisé au singulier en avançant deux arguments.

– Le premier relève des relations possibles entre logique standard et logiques alternatives. Zadeh souligne que les ensembles ordinaires peuvent être considérés comme des cas limites d’ensembles flous pour lesquels la fonction d’appartenance ne peut prendre que les deux valeurs 1 ou 0. Cette remarque peut être généralisée dans la mesure où les théorèmes des systèmes alternatifs (logiques plurivalentes, intuitionnistes, etc.) sont tous parties propres de l’ensemble des théorèmes de la logique standard. C’est par exemple le cas de la logique trivalente de Łukasiewicz. De plus, comme l’a montré Gödel simplifié par Valery Ivanovich Glivenko (1929), tout théorème de la logique classique devient théorème de la logique intuitionniste si on lui préfixe une double négation. Ainsi du tiers exclu : ¬¬(p v ¬p) ou de l’involution de la négation : ¬¬(¬¬p p). En ce sens, la logique bivalente standard peut être considérée comme le socle indispensable à toute construction logique.

– Le second argument réside dans le fait que si effectivement les métalogiques (au sens usuel du terme) des divers systèmes logiques diffèrent et ne valent que localement, il est possible de montrer que toutes les logiques partagent les mêmes « principes métalogiques » au sens cette fois de Vasiliev (1993) pour lequel la « métalogique » recelait des principes « absolus » valant universellement. Et il donnait comme exemple, ce qu’il appelait la « loi de l’absolue distinction de la vérité et de la fausseté ». En effet, il est patent que tout système formel, bivalent, trivalent, multivalent, etc. ne peut à la fois admettre deux valeurs de vérité différentes. Quel que soit le nombre des valeurs possibles, chaque proposition ne peut admettre qu’une seule valeur. Ainsi, on pourrait croire que la logique du paradoxe de Graham Priest (2007) viole ce principe puisqu’elle admet que des propositions paradoxales puissent être à la fois vraies et fausses. Mais dans ce système trivalent « vrai et faux » constitue une tierce valeur, « paradoxale » (p) à côté de « seulement vrai » (t) et « seulement faux » (f) et donc une proposition ne peut avoir qu’une seule de ces trois valeurs.

Selon nous, cette loi métalogique est un cas particulier d’un principe général de déterminabilité bipolaire valant universellement pour tout système formel logique (Vernant, 2017, chap. 11). Appliqué à la syntaxe, ce principe impose qu’une formule soit bien ou mal formée, un symbole primitif ou non, un axiome indépendant ou non, etc. Et appliqué à la sémantique, il impose qu’une proposition n’ait pas plus d’une valeur de vérité, soit valide ou non, etc. Ainsi, la définition de la validité elle-même requiert dans tous les cas la bipolarité. En effet, si l’on distingue parmi les valeurs de vérité d’une logique multimodale une valeur désignée (par exemple 1 en logique trivalente) pour définir la validité des formules et que toutes les autres sont non-désignées (1/2 et 0), alors on retrouve l’opposition binaire Vrai/Faux et l’on peut construire une sémantique bivalente de la logique multimodale en question (pour la logique trivalente de Łukasiewicz, voir Béziau, 2003, § 1.3.2).


5. Dimension pragmatique des systèmes formels

Dès lors que disparaît l’illusion de l’universalité d’une unique logique exprimant les lois a priori de la pensée, l’efflorescence des multiples logiques au cours du XXe siècle témoigne de la nécessité d’adapter les systèmes formels à la diversité de leurs champs d’application. Ainsi la logique ontique formalise les analyses philosophiques de la nécessité et de la contingence, la logique intuitionniste constitue l’instrument formel d’un traitement brouwerien de la mathématique finitiste, la logique quantique s’applique à la physique quantique, la logique déontique au champ juridique, la logique floue aux concepts vagues, etc.

Ainsi relève de la logique – au sens générique du terme – toute construction symbolique répondant aux exigences syntaxiques, sémantiques, et métalogiques – aux deux sens du terme – d’un système formel. On retrouve ici le principe de tolérance énoncé par Carnap :

En logique, il n’y a pas de morale. Chacun a la liberté de construire sa propre logique, i.e. sa propre forme de langage, comme il le souhaite. Tout ce qui lui est demandé, …/…, est qu’il établisse ses méthodes clairement et qu’il fournisse des règles syntaxiques au lieu d’arguments philosophiques. (Carnap, 1937, § 17, 52).

Dès lors qu’un système formel logique est validé techniquement, la question devient celle du choix de tel ou tel système en fonction du champ d’application considéré. Une telle question, de nature proprement pragmatique, devrait faire l’objet d’une explicitation technique portant sur la relation entre la théorie formelle et les choix et contraintes pré-théoriques qui président à l’élaboration d’un système formel. Hilbert lui-même – contrairement à une conception erronée de son approche formaliste – ne négligeait pas les choix initiaux d’ordre « intuitifs et contentuelle (inhaltlich) » qui commandaient ab initio la construction du système :

En opposition avec les anciennes tentatives de Frege et Dedekind, nous sommes parvenus à la conviction que certaines représentations et idées intuitives sont des préalables nécessaires à la possibilité de la connaissance scientifique et que la logique toute seule ne peut pas tout. (Hilbert, 1972, 245).

Pour ne prendre qu’un exemple, on peut construire une logique déontique de façon strictement analogue à la logique ontique, mais alors s’impose une interprétation irénique du jeu normatif puisque si l’on introduit l’obligation sur le modèle de la nécessité ontique, cette obligation de faire implique le faire. Dans quel monde l’obligation est-elle ipso facto suivie d’effet ? Dans quel monde une interdiction est-elle strictement respectée ? La réponse de Jaakko Hintikka (1969, 189) est claire : dans le Reich der Zwecke de Kant ou dans ce qu’il appelle deontically perfect words. Une vision plus réaliste des normes déontiques requiert alors de disqualifier ces inférences. S’impose alors le choix d’une logique spécifique (Vernant, 2017, chap. 13).

Il conviendrait donc d’ajouter un pan pragmatique aux systèmes formels qui aurait pour objet d’articuler le niveau de l’appréhension pré-théorique et intuitive d’un contenu empirique avec celui de la théorisation – et éventuellement de l’axiomatisation – formelle. Ainsi, ce que disait Paulette Destouches-Février de la logique quantique peut, mutatis mutandis, valoir pour toute logique :

Il n’y a pas une logique unique indépendante de tout contenu, mais dans chaque domaine une logique se trouve adéquate. Il y a interdépendance du logique et du physique, du formel et du réel (Destouche-Février, 1951, p. 88).

Une telle approche pragmatique permet d’opérer la sursomption (Aufhebung) des approches concurrentes de l’intuitionnisme et du formalisme.


6. L’ouverture des possible

Sur le socle de la logique standard, l’efflorescence des logiques alternatives a produit une incontestable régionalisation des rationalités déductives : la logique ontique n’est pas la logique déontique, qui n’est pas la logique floue, qui n’est pas la logique quantique, etc. Dans ce cadre relativiste, se sont déployées de multiples potentialités à la fois techniques et conceptuelles qui ont significativement enrichi notre pouvoir d’expression formelle, d’analyse conceptuelle et de théorisation.

Nous espérons avoir montré qu’en autorisant de multiples possibilités alternatives fondées sur des choix pragmatiques de champs d’application particuliers, l’analyse logique s’avère aujourd’hui l’instrument indispensable d’une philosophie conçue comme ouverture des possibles :

Sans doute la philosophie ne nous apprend-elle pas de façon certaine la vraie solution aux doutes qu’elle fait surgir : mais elle suggère des possibilités nouvelles, elle élargit le champ de la pensée en la libérant de la tyrannie de l’habitude (Russell, 1912, 181).

La philosophie est la science du possible.…/… La philosophie, si ce qui a été dit est correct, ne peut être distinguée de la logique, tel que ce mot en est venu à être utilisé. …/… De cette manière, la logique fournit un inventaire des possibilités et un répertoire des hypothèses abstraitement tenables. (Russell, 2007, 115).


Bibliographie

Barcan-Marcus Ruth, « Modalities and Intensional Languages », Synthese, n°13, pp. 303-322, 1961.

Béziau Jean-Yves « The Future of Paraconsistent Logic », Logical Studies, n°2, pp. 1-28, 1999.

Béziau Jean-Yves « Bivalence, Excluded Middle and Non Contradiction », The Logical Yearbook, 2003, L. Behounek (ed.), Academy of Sciences, Prague, pp. 73-84, 2003.

Blanché Robert, La Logique et son histoire, Paris, A. Colin, 1970.

Bocheński Józef Maria, A History of Formal Logic trad. angl. I. Thomas, New York, Chelsea Publishing Company, 1970.

Brouwer Luitzen Egbertus Jan, “De onbetrouwbaarheid der logische principes”,  Tijdschrift voor Wijsbegeerte, n°2, pp. 152–158, 1908. English translation in Brouwer, 1975, Collected Works 1. Philosophy and Foundations of Mathematics, A. Heyting (ed.), Amsterdam, North-Holland, pp. 107-111, 1975.

Carnap RudolfLogische Syntax der Sprache, Vienne, Springer, 1934.

Carnap Rudolf The Logical Syntax of Language, London, Routledge & Kegan, 1937.

Church Alonzo, « An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory », American Journal of Mathematics, vol. 58, pp. 245-63, 1936.

da Costa Newton, Sistemas Formais Inconsistentes. Curitiba, Brazil, Universidade Federal do Paraná, 1963.

Destouche-Février Paulette, La Structure des théories physiques, Paris, PUF, 1951.

Fisch Max & Turquette Atwell, « Peirce Triadic Logic », Transactions of the Charles Sanders Peirce Society, II/2, pp. 71-85, 1966.

Frege GottlobBegriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denken, Halle, L. Nebert, 1879, trad. fr. C. Besson, Idéographie, Paris, Vrin, 1999.

Frege Gottlob « Über Sinn und Bedeutung », 1892, Funktion, Begriff, Bedeutung, Fünf logische Studien, G. Patzig, Göttingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1980 ; trad. fr. Cl. Imbert, « sens et dénotation », Écrits logiques et philosophiques, Paris, Seuil, pp. 102-126, 1971.

Gardies Jean-Louis, Éssais sur la logique des modalités, Paris, Puf, 1979.

Gentzen Gerhard, « Untersuchungen über das logische Schließen », Mathematische Zeitschrift, n°39, pp. 176-210 & 405-31, 1934.

Glivenko Valery Ivanovich, « Sur quelques points de la logique de M. Brouwer », Académie royale de Belgique, Bulletins de la classe des sciences, n°15, pp. 183-188, 1929.

Haack Susan, Deviant Logic, London, Cambridge University Press, 1974.

Heyting Arend, Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitzungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften. phys.-math. Klasse, pp. 42–65, 57-71, 158-169, 1930.

Hilbert David « Axiomatisches Denken », 1918 ; trad. fr. A. Reymond, « Pensée axiomatique », L’Enseignement mathématique, 1919.

Hilbert David « Sur l’infini », 1925, trad. fr. J. Largeault, Logique mathématique, textes, Paris, A. Colin, pp. 215-245, 1972.

Hintikka Jaakko, Models for Modalities, Selected Essays, Dordrecht, D. Reidel Publishing Company, 1969.

Jaśkowski Stanisław « On the Rules of Supposition in Formal Logic », Studia Logica, n°1, pp. 5-32, 1934, rééd. in McCall, Polish Logic 1920-1939, Clarendon Press, pp. 232-58, 1967.

Jaśkowski Stanisław « Propositional Calculus for Contradictory Deductive Systems », (original polonais de 1948), Studia logica, n°24, pp. 143-160, 1969.

Kalinowski Georges, « Théorie des propositions normatives », Studia Logica, vol. 1, 1953.

Lesniewski Stanisław, Sur les fondements de la mathématique, Préface de Denis Miéville, trad. fr. G. Kalinowski, Paris, Hermès, 1989.

Lobatchevski Nikolaï Ivanovich, « Geométrie imaginaire », Journal für die reine und angewandte Mathematik, n°17, pp. 295-320, 1837.

Lorenz Kuno, Arithmetik und Logik als Spiele, 1961, extraits in Dialogische Logik, Lorenzen P.  & Lorenz K., Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1978.

Łukasiewics Jan « Sur la logique trivalente », 1920, Écrits logiques et philosophiques, traduction et introduction par S. Richard, F. Schang & K. Vandenborre, Paris, Vrin, pp. 103-104, 2013 a.

Łukasiewics Jan « Sur l’histoire de la logique des propositions », 1935, Écrits logiques et philosophiques, pp. 59-81, 2013 b.

Łukasiewics JanLa Syllogistique d’Aristote dans la perspective de la logique formelle moderne, 1951/1957, trad. fr. F. Caujolle-Zaslawsky, Paris, Armand Colin, 1972.

Martin Roger, Logique contemporaine et formalisation, Paris, Puf, 1964.

Peirce Charles Sanders, « On the Algebra of Logic, A Contribution to The Philosophy of Notation », 1885 ; trad. fr., Œuvres philosophiques, vol. III (Écrits logiques), Claudine Tiercelin & Pierre Thibaud éds., Paris, Cerf, 2006.

Post Emil Leon, « A General Theory of Elementary Propositions », 1921 ; trad.  fr. J. Largeault, Logique mathématique, textes, Paris, A. Colin, pp. 29-53, 1972.

Priest Graham, « La logique du paradoxe », 1979 ; trad. fr. Clément Vidal, Philosophie, n°94, pp. 72-94, 2007.

Ramsey Frank Plumpton, Foundations, Essays in Philosophy, Logic, Mathematics, Economy, reed. by D. H. Mellor, Routledge and Kegan Paul, London, 1978.

Reichenbach Hans, Philosophic Foundations of Quantum Mechanics, University of California Press, 1944.

Russell Bertrand & Whitehead Alfred N., Principia Mathematica, first ed. vol I, 1910, vol. II, 1912, vol III, 1913, second ed. vol. I, 1925, vol II & III, 1927. Paperback edition to * 56, (avec l’intro. à la seconde éd. et les Appendices A et C), London, Cambridge U.P., 1973.

Russell Bertrand « Sur la logique des relations avec des applications à la théorie des séries », Rivista di Matematica, n°7, Turin, pp. 115-148, 1901.

Russell Bertrand Mysticism and Logic, 1917, trad. fr. D. Vernant et alii., Mysticisme et logique, Paris, Vrin, 2007.– Principles of Mathematics, London, Allen & Unwin, 1903, second ed. 1937, trad. fr. partielle J.-M. Roy, Les Principes de la mathématique, Écrits de logique philosophique, Paris, PUF, pp. 1-200, 1989.

Russell Bertrand « On Denoting », 1905, trad. fr. J.-M. Roy, « De la dénotation », Écrits de logique philosophique, pp. 203-218, 1989.

Russell BertrandOur Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy, 1914, trad. fr. P. Devaux, La Méthode scientifique en philosophie, Paris, Payot, PBP, n°423, 2002.

Russell Bertrand The Problems of Philosophy, 1912, trad. fr. F. Rivenc, Problèmes de philosophie, Paris, Payot, 1989.

Scholz Heinrich, Esquisse d’une histoire de la logique, 1931, trad. fr. E. Coumet, Fr. de Laur, J. Sebestik, Paris, Aubier, 1968.

Tarski Alfred, « Pojecie prawdy w jczykach nauk dedukcynych », 1933 ; trad. fr. G. Kalinowski, « Le concept de vérité dans les langages formalisés », Tarski, Logique, sémantique, métamathématique, G.-G. Granger dir., Paris, A. Colin, vol.1, pp. 159-269, 1972.

Turing Alan, « On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem », Proc. London Mathematics Society, Ser. 2, n°42, pp. 230-265, 1936-7.

Vasiliev Nicolaï Alexandrovich « Imaginary (non-Aristotelian) Logic », 1012, translated by R. Vergauwen and E. A. Zaytsev, Logique et Analyse, n°182, pp. 127-163, 2003.

Vasiliev Nicolaï Alexandrovich « Logic and Metalogic », 1912-13, translated by Vladimir L. Vasyukov, Axiomathes, IV, n°3, pp. 329-351, 1993.

Vernant Denis « Quantification substitutionnelle, contextes intensionnels et question d’existence », Dialectica, vol. 40, n°3, pp. 273-296, 1986.

Vernant Denis Philosophie mathématique de Bertrand Russell, Paris, Vrin, 1993.

Vernant Denis « L’interprétation du formalisme logique, Ramsey lecteur des Principia Mathematica », F. Nef & D. Vernant éds., Le Formalisme en question, Le tournant des années 30, Paris, Vrin, pp. 147-168, 1998.

Vernant DenisIntroduction à la logique standard, Paris, ChampsFlammarion, 2001.

Vernant Denis « Quine & Russell, aspects sémantiques, ontologiques et logiques », Lire Quine, logique & ontologie, Jean-Maurice Monnoyer éd., Combas, Éditions de l’Éclat, pp. 89-158, 2006.

Vernant Denis « Pour une logique déductive dialogique », Al-Mukhatabat, Hamdi Mlika dir., Tunisie, n°4, pp. 8-26, oct. 2012.

Vernant DenisQuestions de logique et de philosophie, Milan, Mimesis, 2017.

Von Neumann John, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, 1932 ; trad.  fr. Paris, Gauthier-Villars, réimpression Gabay, 1992.

von Wright Georg Henrik, « Deontic Logic », Mind, n°60, pp. 1-15, 1951.

wittgenstein Ludwig, Carnets, 1914-1916, trad. fr. G.-G. Granger, Paris, Gallimard, 1971,

Zadeh Askar, « Fuzzy Sets », Information and Control, n°8, pp. 338-353, 1965.


Denis Vernant
Université de Grenoble Alpes
denis.vernant@univ-grenoble-alpes.fr