La philosophie de A à Z

Publié en janvier 2019

Résumé

G. Frege est l’un des fondateurs, sinon le fondateur de la logique contemporaine, fort distincte de la vieille syllogistique : s’appuyant sur une analyse originale de la phrase déclarative, la nouvelle logique intègre certes les acquis aristotéliciens, mais en les réinterprétant dans un esprit tout différent ; surtout, elle intègre des formes de raisonnement que la tradition ne pouvait accepter comme relevant de la logique.

Il fut amené à ces innovations afin de pouvoir non seulement intégrer à la logique des formes de raisonnement habituellement utilisées par les mathématiciens mais non reconnues par les logiciens, mais également pour donner corps à la thèse leibnizienne, et anti-kantienne, que l’arithmétique n’est qu’une branche de la logique (« logicisme »). Ce faisant, il chercha à en dériver les théorèmes en ne se fondant que sur des axiomes qu’il tenait pour logiques et les définitions en termes purement logiques de ses notions fondamentales. On peut mentionner dès maintenant deux des résultats les plus significatifs auxquels il parvint ainsi : justifier logiquement le raisonnement par induction complète et définir logiquement la notion de nombre entier.

Cela ne fut possible qu’à une double condition : d’une part, construire une « idéographie » (Begriffsschrift) qui, à la différence des langages naturels, ait une grammaire logiquement en ordre, et d’autre part introduire une nouvelle conception du concept (et de la relation).

La philosophie fut toujours étroitement liée à la logique, non pas tant aux formes limitées et pauvres des syllogismes, qu’à l’analyse logico-ontologique qui la sous-tend (cf. par excellence, le Discours de métaphysique de Leibniz et les lettres à Arnauld). Il n’est donc pas surprenant que le renouvellement de la logique n’ait pu qu’avoir des prolongements philosophiques importants, même si ceux-ci ne furent pas tous, loin de là, explicités par Frege. Il n’en reste pas moins qu’une large part de la philosophie contemporaine, surtout d’inspiration « analytique », trouve en partie son origine dans l’œuvre de Frege. Des philosophes aussi importants que Wittgenstein ou Carnap, par exemple, n’ont pas manqué de souligner leur dette à son égard.

De son vivant, le travail de Frege ne fut guère reconnu sinon par Russell qui fut le premier dès 1903 dans les Principles… à souligner l’importance de ses innovations et à les discuter. Ce n’est qu’à partir des années cinquante que l’on commença à le lire et l’étudier sérieusement, essentiellement dans les pays de langue anglaise. Depuis lors les travaux qui lui sont consacrés n’ont cessé de se multiplier et son œuvre n’a pas fini d’être une source de réflexion pour nombre de philosophes tant dans le domaine de la philosophie des mathématiques que dans celui de la philosophie du langage, ou même encore dans celui l’ontologie.


Table des matières

1. Biographie sommaire

2. Genèse de l’idée d’une Begriffsschrift

3. Analyse de la proposition

a. Rappel de quelques caractéristiques de la logique classique
b. La pluralité des analyses de la proposition chez Frege

4. Concept (et relation)

a. Concept (relation) de premier et de second niveau
b. Une difficulté dans la théorie frégéenne du concept

5. Qu’est-ce qu’un nombre (cardinal) ?

a. Critique de diverses conceptions du nombre
b. Nombre, concept, objet
c. Définition du nombre

6. Les nombres finis

a. Propriété héréditaire, suivre dans une suite

7. La contradiction

8. Philosophie de la logique

a. Signe, sens et référence

i. Sens d’un nom propre
ii. Référence d’une proposition
iii. Référence d’un terme conceptuel (relationnel)
iv. Quelques conséquences de la distinction entre sens et référence

b. Logique, vérité et domaine de la référence

9. Controverses et problèmes.

a. Anti-psychologisme et anti-formalisme
b. La question du « platonisme » de Frege

Conclusion

Bibliographie

a. Œuvres de Frege
b. Ouvrages, recueils d’articles et articles sur Frege
c. Autres ouvrages cités


1. Biographie sommaire

Gottlob Frege est né le 8 novembre 1848, à Wismar, petite ville hanséatique située au bord de la Baltique, (dans l’actuel land du Mecklenbourg-Poméranie-Occidentale) donc tout au nord de l’Allemagne. Son père, qui y dirigeait une école privée pour filles, mourut en 1866, alors que Frege avait 18 ans. Encouragé par un jeune professeur de l’école de son père, Leo Sachse, il partit à l’université d’Iéna en 1869 pour y suivre des cours de mathématiques et de chimie, ainsi qu’un cours de philosophie sur Kant professé par Kuno Fischer. Il y resta jusqu’en 1871 et s’en fut alors à l’université de Göttingen, où il resta un peu moins de trois ans (jusqu’en 1874), toujours pour y suivre des cours de mathématiques mais aussi de physique. Il suivit également un cours de H. Lotze sur la philosophie de la religion.

Il soutint à Göttingen en 1873 un doctorat sur « une représentation géométrique des formes imaginaires dans le plan ». De retour à Iéna, en 1874, il soumit une dissertation sur « une méthode de calcul fondée sur un élargissement du concept de grandeur » lui permettant d’obtenir sa venia docendi (habilitation à enseigner) dans cette université. Dès lors, Frege restera à Iéna jusqu’à la fin de sa carrière académique en 1918, constamment soutenu par Ernst Abbe (1840-1905), spécialiste d’optique dans cette Université et très impliqué dans la société Zeiss.

A ses débuts, il ne fut que « privat docent », comme c’était l’usage, ce qui veut dire que ses émoluments dépendaient du nombre d’étudiant payant pour ses cours. Ce nombre n’étant guère élevé, il ne vivait que chichement. Il publia en 1879 ce que l’on considère aujourd’hui comme le texte fondateur de la logique contemporaine, à savoir : Begriffsschrift, un langage formulaire de la pensée pure, construit sur le modèle de celui de l’arithmétique (dorénavant Bs. ; on pourrait traduire Begriffsschrift par “idéographie”, mais nous utiliserons le terme allemand dans ce qui suit sans le mettre en italique, sauf lorsqu’il s’agira de citer l’ouvrage de Frege). Cela concourut peut-être à ce qu’il obtienne un salaire de la part de l’université à partir de 1881 en tant que professeur extraordinaire. Ce petit livre, qui jette les bases de l’actuel calcul des propositions et de la logique des prédicats, était écrit dans un symbolisme bidimensionnel (se lisant du bas vers le haut et de gauche à droite) qui ne put que sembler très étrange à ses contemporains, ce qui explique sans doute qu’il ne fut guère apprécié à sa juste valeur.

C’est peut-être pourquoi, suivant une suggestion de K. Stumpf, Frege publia en 1884 Die Grundlagen der Arithmetik (Les Fondements de l’Arithmétique, dorénavant Gl.), ouvrage écrit en langage ordinaire, dans lequel, après avoir passé au crible d’une critique serrée les différentes conceptions du nombre entier que l’on pouvait trouver aussi bien chez les mathématiciens que chez les philosophes, il exposait sa propre définition du nombre et indiquait les premières étapes d’une déduction des lois de l’arithmétique. Là encore cet ouvrage passa quasi inaperçu ou bien fut sévèrement critiqué, par Cantor par exemple ; quelques années plus tard le jeune Husserl, qui l’avait lu mais mal compris, émit lui aussi de sévères critiques à son encontre dans sa Philosophie de l’Arithmétique (1891). Toutefois, dans la préface à la seconde édition de Was sind… (1893), Dedekind reconnaîtra, pour s’en féliciter, la proximité de sa propre définition de la chaine d’un ensemble A avec celle de « suivre dans une suite » de Frege.

A partir de 1885 sa situation professionnelle et donc financière s’améliore sensiblement et Frege épouse en 1887 Margarete Lieseberg ; ils eurent plusieurs enfants, tous morts en bas âge.

Les Grundlagen n’étaient qu’une sorte d’esquisse, à fin de publicité, de ce qui était la véritable ambition de Frege : fournir, écrites dans sa Begriffsschrift, les définitions des notions fondamentales de l’arithmétique et déduire, à partir d’axiomes purement logiques, les principaux théorèmes de cette discipline. Pour atteindre cet objectif, Frege dut clarifier un certain nombre de points fondamentaux concernant les notions de base de son système, ce qu’il fit dans trois grands articles au tout début des années 1890 : successivement « Function und Begriff » (« Fonction et Concept », 1891), « Sinn und Bedeutung » (« Sens et Référence », 1892) et « Begriff und Gegenstand » (« Concept et Objet », 1892) », qui sont autant de préalables logico-philosophiques à son opus magnum, Grundgesetze der Arithmetik (Lois fondamentales de l’Arithmétique, dorénavant Gg.) dont il publia le premier volume en 1893. Cet ouvrage, là encore, ne rencontra pas d’écho, ce qui chagrina Frege et l’obligea à publier à compte d’auteur son deuxième volume en 1903. Par malheur, juste avant la publication de ce deuxième volume, Russell lui envoya en 1902 une lettre l’avisant que son système enveloppait une contradiction. A cette première infortune, s’ajouta peu après, en 1904, la mort de son épouse. Ce double coup semble l’avoir plongé dans un état de dépression qui l’amena à demander à ne pas assurer ses cours à l’Université pour l’année 1905.

Même si Frege admit que sa tentative de traiter les nombres comme des objets logiques fut un échec, il resta fermement attaché à ses innovations proprement logiques et continua à les enseigner au moins jusqu’en 1914, comme en témoignent les notes prises par Carnap, lequel suivit ses cours sur ce sujet de 1910 à 1914 (cours auxquels seule une poignée d’étudiant assistait). A la même époque, le jeune Wittgenstein vint lui rendre visite à au moins deux reprises pour discuter de logique (c’est Frege qui incita Wittgenstein à aller rencontrer Russell à Cambridge). Lorsque Frege reçut un exemplaire du Tractatus après la guerre, il écrivit une longue lettre à Wittgenstein dans laquelle il faisait état de sa perplexité, pour dire le moins, devant les premiers aphorismes de cet ouvrage.

Dans les années 1910, Frege recueillit, puis adopta formellement un jeune garçon, Alfred Fuchs (né en 1903), qui hérita de ses manuscrits non publiés. Ce dernier les confia en 1935 à H. Scholtz, alors en poste à l’Université de Münster, qui eut l’heureuse idée de faire une copie dactylographiée de la plus grande partie de ces manuscrits. Cela permit de les préserver, malgré la destruction des originaux en mars 1945, lors du bombardement de la bibliothèque de l’Université de Münster. Alfred Fuchs, devenu Alfred Frege, mourut au front, près de Paris, en juin 1944.

Frege se retira de l’Université d’Iéna en 1918 et s’en vint finir sa vie dans la petite ville de Bad Kleinen, non loin de Wissmar, sa ville natale. Il écrivit encore trois articles sous le titre générique « Logische Untersuchungen » (« Recherches logiques ») : « Der Gedanke » (1918), « Die Verneinung » (1918) et « Gedankengefüge » (1923).

Cette fin de vie ne fut sans doute pas des plus heureuses en raison de la défaite, des ennuis d’argent qui s’en suivirent, d’une santé chancelante. Il tint entre le 10 mars et le 9 avril 1924 une sorte de journal dans lequel il notait les idées politiques et morales que lui inspiraient les troubles de cet après-guerre. Il y expose des opinions résolument anti-démocratiques, vitupérant le parti Social-Démocrate et le Zentrum, la place trop importante des juifs en Allemagne, regrettant la perméabilité des allemands aux idées françaises et anglaises, appelant de ses vœux un pouvoir fort (Ludendorf, Hindenburg, un nouveau Kaiser) capable de préserver l’« esprit germanique » de toute contamination non-aryenne et de rendre à l’Allemagne la grandeur qu’avaient su lui donner Guillaume 1er et Bismark. Tout cela fait partie de l’arsenal idéologique de l’extrême droite « conservatrice » allemande des années vingt qui allait faire le lit de l’hitlérisme en 1933. Il mourut dans la nuit du 25 au 26 juillet 1925.

Frege est d’abord un mathématicien, par sa formation comme par sa carrière professionnelle. Sa culture philosophique semble avoir été assez mince, et lorsqu’il évoque tel ou tel philosophe c’est souvent au travers d’une compilation, accompagnée de commentaires, de textes sur l’espace le temps et les mathématiques, tirés des œuvres de philosophes « modernes » (de Suarez jusqu’à Hume), publiée par Julius Baumann en 1868-1869. Il semble également avoir lu de première main les écrits de Leibniz édités par Erdmann, le Système de Logique de Mill, ainsi évidemment que la Critique de la Raison Pure. Quoi qu’il en soit, il ne discute que les thèses de ces auteurs concernant ce qui l’intéresse, à savoir, essentiellement, le statut (analytique ou synthétique) des propositions de l’arithmétique et le concept de nombre, sans se soucier de les restituer dans leur contexte doctrinal.

Quant à sa culture logique, il connaît évidemment la vieille logique aristotélicienne et a travaillé l’Algèbre de la logique de Boole et quelques essais infructueux de Leibniz, mais, comme on va le voir, ses innovations ne se situent nullement dans le prolongement de ces auteurs, même s’il se plait à reprendre à son compte l’idée leibnizienne d’une lingua characteristica qui soit en même temps un calculus ratiocinator.

2. Genèse de l’idée d’une Begriffsschrift

Frege ne s’est pas beaucoup livré quant à la démarche qui l’a conduit à ses doctrines logiques. Ce qui est sûr, est qu’il n’en est venu à la logique qu’en vertu d’une thèse qu’il avançait dès son Habilitationsschrift de 1874 : l’arithmétique s’applique à tout ce qui est simplement pensable. Elle ne peut donc trouver sa source ni dans l’expérience sensible, ni dans une intuition « à la Kant », car alors elle ne pourrait s’appliquer qu’à ce qui est donné dans l’expérience sensible ou dans l’intuition, respectivement. Frege en conclut que l’arithmétique relève de la pensée pure, sans immixtion d’élément étranger. Il reprendra fréquemment cette ligne d’argumentation dans les Grundlagen contre les auteurs qu’il critique. On a là le germe de la thèse « logiciste ». Frege se situe donc d’emblée (il a 26 ans), quant à l’arithmétique, dans une perspective leibnizienne et anti-kantienne.

On peut soutenir ce genre de thèse, encore faut-il pouvoir la mettre en œuvre pour en montrer la légitimité et cela voulait dire pour Frege : déduire, purement logiquement et sans lacune, les lois fondamentales de l’arithmétique à partir d’axiomes logiques et de définitions ne faisant appel qu’à des notions logiques. Cela suppose deux choses : 1. que l’on dispose des lois d’inférence permettant de mener à bien un tel projet, et cela requiert à son tour, pour Frege, que l’on puisse déduire les lois logiques correspondantes dans un système axiomatique « à la Euclide » dont les axiomes soient purement logiques. 2. Que l’on dispose d’un symbolisme logiquement en ordre permettant d’exprimer des contenus mathématiques.

C’est ainsi que Frege pris rapidement conscience que la vieille logique ne lui permettait pas de mener à bien une telle entreprise, non seulement parce qu’elle ne permettait pas d’exprimer des contenus arithmétiques, mais aussi parce qu’elle se limitait à des modes d’inférence rudimentaires incapables de ménager une place aux raisonnements mathématiques les plus courants, comme, par excellence, l’induction complète (ou « induction mathématique », voir l’entrée « Induction mathématique »). Ces insuffisances expliquent qu’historiquement, les raisonnements mathématiques étaient menés pour l’essentiel dans le langage ordinaire, avec, comme conséquence, que les déductions pouvaient s’appuyer sur des présupposés inaperçus et donc non prouvés, comme c’est le cas chez Euclide. Dans une des rares évocations de l’évolution de sa pensée, Frege attribue à l’exigence qu’il n’y ait pas de rupture dans la chaîne des déductions, le projet d’une Begriffsschrift permettant de s’assurer, quasi visuellement, qu’aucun présupposé n’ait été oublié : on retrouve là l’idée leibnizienne d’une calculus ratiocinator. Toutefois, cela n’est pas suffisant : une telle Begriffsschrift doit permettre également d’expliciter univoquement des contenus mathématiques afin, d’une part d’échapper au flou qui entoure les notions exprimées dans les langages naturels, et d’autre part de leur appliquer quasi mécaniquement les règles d’inférence. C’est la double idée leibnizienne d’un calculus ratiocinator qui soit simultanément une lingua characteristica. Comme l’indique Frege en 1880, il s’agit d’adjoindre au symbolisme déjà développé par les mathématiciens, un symbolisme prenant en charge les articulations logiques du discours : « De là surgit la tâche de mettre en place des signes pour les relations logiques susceptibles de s’unir aux formules des mathématiques et ainsi de construire, au moins pour un certain domaine, une Begriffsschrift complète (« Booles rechnende Logik…», N. S. p. 14-15). » Ainsi, contrairement au calcul booléen, il ne s’agit pas d’un symbolisme seulement logique permettant de résoudre des problèmes logiques pris pour eux-mêmes, problèmes qui, dans le cas de Boole, s’inscrivaient fondamentalement dans la perspective d’un calcul des classes « à la Aristote », même si la portée d’un tel calcul était bien plus large que l’étroite syllogistique de la tradition.

A en croire les souvenirs dont Frege fit part à P.E.B Jourdain en 1902 (cf. la lettre à Jourdain du 23 sept. 1902, Bw., p. 111, mais il dira autre chose dans une note posthume à Darmstaedter en 1919), c’est en mettant au point son symbolisme, qu’il en vint à sa conception du nombre ; celle-ci supposant à son tour une toute nouvelle conception du concept, elle-même dépendant d’une approche originale de l’analyse des propositions.

3. Analyse de la proposition

a. Rappel de quelques caractéristiques de la logique classique

La logique aristotélicienne se fonde sur l’analyse de la proposition en sujet / copule / prédicat : toute proposition est supposée réductible à cette forme même si cela n’est pas directement apparent ; par exemple, homo currit, doit se paraphraser homo est currens et les logiciens de Port-Royal théoriseront cela en expliquant que « les hommes voulant abréger leurs discours, ont fait une infinité de mots qui signifient tout ensemble l’affirmation, c’est à dire ce qui est exprimé par le verbe substantif [i.e., le verbe être] et de plus un certain attribut qui est affirmé… Dieu aime les hommes, c’est à dire Dieu est aimant les hommes (La Logique… , II, 1). » Comme le montre cet exemple, la proposition paraphrasée semble exprimer une relation entre un sujet et des individus ; mais c’est précisément ce que l’analyse traditionnelle ne pouvait reconnaître et la paraphrase qui en est donnée se charge de faire rentrer ce genre de proposition relationnelle dans le moule de la forme prédicative canonique.

Il s’ensuit que l’on peut décrire très généralement ce que nous faisons lorsque nous énonçons une quelconque proposition (un jugement) : nous affirmons (ou nions) quelque chose de quelque chose, à savoir un attribut (un prédicat) d’un sujet, ce qui suppose évidemment que sujet et prédicat aient déjà été formés. La formation des termes (concepts) entrant dans un jugement précède donc la formation du jugement lui-même, celui-ci se limitant à lier ou séparer deux termes déjà formés. Il en résulte que la vérité d’un jugement tient à ce que les termes liés (ou séparés) dans la proposition, signifient ce qui est lié (ou séparé) dans la réalité.

Notons un point important pour ce qui suit : si l’on peut avoir l’impression que le sujet peut être, comme dans l’exemple ci-dessus des Messieurs de Port Royal, un terme singulier, le fonctionnement de la syllogistique interdit, en principe, d’introduire, à titre de prémisses ou de conclusion, des propositions singulières. Ainsi dans les syllogismes retenus par Aristote, ne figurent que des propositions universelles ou particulières, dont les sujets sont donc des termes généraux, pris universellement ou particulièrement, mais jamais des termes singuliers (pour plus de détails sur la syllogistique, voir l’entrée « Syllogisme »). De fait, cet interdit aristotélicien n’a guère été respecté, et il est plus que fréquent de voir pris comme exemple de syllogisme, un pseudo Barbara comme : « Tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme, ergo : Socrate est mortel ». Comme un tel syllogisme est évidemment valide, une des questions que se sont posées les successeurs d’Aristote fut de savoir sous quelle rubrique ranger les propositions singulières, et il fut souvent admis, par exemple, par les gens de Port Royal, par Leibniz ou encore par Kant, que de telles propositions devaient être tenues pour des universelles, puisque le sujet y est pris dans toute son extension, si réduite soit-elle. Il n’y a donc pas de différence logique entre “les baleines sont des mammifères” et “Moby-Dick est un mammifère”. A cela correspond l’idée que la différence entre les « noms propres » et les « noms communs » tient seulement à ce que les premiers ne s’appliquent qu’à un seul individu, alors que les seconds s’appliquent à une pluralité (numériquement indéterminée) d’individus. On peut alors définir un terme singulier comme n’étant prédicable que d’un individu (« Terminus singularis est qui est aptus natus de uno solo predicari (Pierre d’Espagne, Tractatus, I, §8) »), alors qu’un terme général est prédicable de plusieurs. Il est donc logiquement admissible de traiter comme une prédication une proposition comme « la femme de Périclès est Aspasie ».

Ainsi est gommée la différence, pourtant fortement soulignée par Aristote dans les Catégories (1 b, 3-5), entre ce qui peut être prédiqué d’un sujet, ou dans un sujet, et ce qui ne peut l’être, à savoir précisément les termes singuliers, comme cet homme ou ce cheval ; et c’est précisément pour cette raison qu’Aristote ne pouvait admettre de tels termes dans ses syllogismes, puisque les termes qui y figurent doivent pouvoir être aussi bien en position de sujet que de prédicat.

Voilà, succinctement résumé, l’essentiel de ce contre quoi se dresse l’analyse frégéenne.

b. La pluralité des analyses de la proposition chez Frege

Pour Frege, le point de départ (et d’arrivée) de la logique est le vrai et le porteur du vrai est ce qu’il appelait au début de sa carrière un contenu jugeable exprimé par une proposition, ce qu’il appellera par la suite une pensée. Dans les termes de la tradition, que Frege reprend à son compte dans ses premiers écrits, cela signifie que l’on doit partir des jugements et non des concepts, ces derniers étant issus de l’analyse des premiers : «  Pour Boole, comme pour Aristote, la formation des concepts par abstraction est l’activité logique première, le jugement et l’inférence n’intervenant qu’au travers de la comparaison, immédiate ou médiate, des concepts par le biais de leur extension. Au contraire de Boole, je pars des jugements et de leur contenu au lieu de partir des concepts. […] La formation des concepts ne peut se faire pour moi qu’à partir des jugements (« Booles rechnende Logik… », N. S. p. 16-17). » Ce renversement conduit à une première conséquence : on peut combiner logiquement des jugements, et faire des inférences, en ne prenant en compte que leur vérité ou leur fausseté sans égard ni à leur structure interne ni leur signification particulière ; d’où ce que l’on appelle aujourd’hui le calcul des propositions que Frege élabore de toute pièce (si l’on excepte les traces d’un tel calcul chez les stoïciens) et met au point de départ de la construction de la logique.

La deuxième conséquence concerne l’analyse proprement dite de la proposition. Le point de départ de la démarche frégéenne est donné par ce que justement, comme on vient de le voir, la tradition avait si confusément traité : les « jugements singuliers », en lesquels figure un nom propre ou une description définie (auxquels Frege attribue le même statut logique) : « Bradamante aime Roger ». Le premier point à noter est que lorsqu’une telle proposition intervient dans une inférence, elle y joue exactement le même rôle que la proposition « Roger est aimé de Bradamante ». Il n’y a donc nulle raison d’y voir une proposition dont le sujet serait Bradamante à laquelle serait attribuée la propriété d’être amoureuse de Roger, plutôt que d’y voir une proposition dont le sujet serait Roger auquel serait attribuée la propriété d’être aimé de Bradamante. Il est clair, en effet, que la différence grammaticale des deux formulations n’a aucune incidence sur les inférences dans lesquelles l’une ou l’autre de ces propositions pourrait figurer. Ainsi par exemple, à partir de la prémisse « un amoureux court le risque d’être déçu », on pourra en tirer que Bradamante court le risque d’être déçue, quelle que soit la formulation retenue. Deux propositions ayant exactement les mêmes conséquences logiques doivent donc être tenues pour logiquement équivalentes. C’est pourquoi, Frege estime que l’analyse aristotélicienne en sujet/copule/prédicat n’est pas logiquement pertinente, puisqu’elle conduit à distinguer des jugements qui, logiquement, sont strictement équivalents. En réalité, elle ne fait qu’attribuer une importance logique indue à ce qui n’est qu’une particularité grammaticale du langage ordinaire.

Quelle est donc, pour Frege, l’analyse logique d’une telle proposition? Il ne peut y avoir de réponse unique à cette question, et c’est précisément une des originalités de Frege que d’avoir reconnu qu’une même proposition pouvait être analysée de plusieurs manières différentes sans qu’aucune d’entre elles ne soit logiquement privilégiée. On peut tout aussi bien analyser la proposition « Bradamante aime Roger » en « Bradamante / aime Roger » qu’en « Bradamante aime / Roger », ou bien encore en « Bradamante / aime / Roger ». Aucune de ces analyses n’affecte la pensée exprimée, qui reste identiquement la même : ce ne sont que des manières différentes de la concevoir (cf. déjà Bs. § 9). A ces analyses correspondent autant de manières de décomposer la proposition en deux types de composant : dans le premier cas, on peut imaginer qu’à la place de « Bradamante », se trouve par exemple « Angélique », ou tout autre nom propre ; on peut donc faire varier « Bradamante », tout en maintenant fixe « … aime Roger ». Selon le nom propre qui vient en place des trois petits points, on obtient une proposition vraie ou fausse. De la même manière, dans le troisième cas, on peut faire varier aussi bien « Bradamante » que « Roger », tout en maintenant fixe « …aime— » de telle sorte que si l’on remplace « Bradamante » par « Isabelle » et « Roger » par « Sigognac » on obtient une proposition vraie, alors que si l’on fait les mêmes substitutions avec « Bérénice » et « Antiochus » respectivement on obtient une proposition fausse. Ces différentes analyses mettent en évidence soit des concepts, soit des relations ; dans notre cas les concepts : x aime Roger et Bradamante aime x  et la relation x aime x.

D’où vient cette idée et quelles en sont les conséquences? Frege s’inspire des formules de l’arithmétique, dans son désir d’« étendre le langage des signes de l’arithmétique à un langage logique » afin de donner corps à l’idée que l’arithmétique n’est qu’un développement de la logique (« Function und Begriff », K. S. p. 133). Soit « 32 + 5 », nom de 14 ; on peut le voir comme résultant de la fonction 3 + 5 pour l’argument 2, ou comme de la fonction 32 + pour l’argument 5, ou encore comme de la fonction 2 + , pour les arguments 3 et 5 en position de -argument et de -argument respectivement. Quoi qu’il en soit, il s’agit toujours d’un nom de 14 et ces différentes manières de le voir n’y changent rien. On pourrait dire, métaphoriquement, que l’expression entière « 32 + 5 » « oublie » ces différentes manières de voir pour n’être toujours que le nom du même nombre. Ce que nous appelons ici « fonction » a pour première caractéristique, qu’une fois distinguée par analyse dans « 32 + 5 », il est loisible de faire varier la valeur donnée à la, ou aux « variables » (terme que Frege n’aimait pas, cf. Bw, p. 276-277) ; on peut par exemple, dans 2 +  mettre à la place de et de , non pas 3 et 5 respectivement, mais 6 et 2 par exemple, obtenant ainsi le nom d’un autre nombre, à savoir 38. Cette fonction de deux arguments établit donc une connexion entre les nombres pris pour arguments et la valeur (le nombre) que prend la fonction pour ces arguments, ici dans le premier cas 14 pour 3 et 5 pris comme -argument et -argument respectivement, et 38 pour les arguments 6 et 2. Une fonction arithmétique est donc ce qui reste constant lorsque l’on admet que l’on peut faire varier l’un ou l’autre des noms de nombre qui entrent dans le nom (complexe) de nombre dont on est parti ; et comme on le voit, l’expression pour une fonction comporte ce que Frege appelle une ou des places vides (que nous notons, à la suite de Frege par des petites lettres grecques), la, ou les lettres grecques ne servant qu’à indiquer les places où il faut mettre un ou des noms de nombre, le même nom à la place d’une même lettre si celle-ci a plusieurs occurrences. L’expression pour une fonction est donc essentiellement en attente de remplissement. Elle est, dit Frege, « insaturée » (ungesättigt), au contraire d’un nom de nombre qui, lui, est un tout complet, est « saturé ». Et comme une fonction est une manière d’établir une certaine connexion entre des nombres pris pour arguments et le nombre obtenu comme valeur pour ces arguments, elle ne peut « subsister » (bestehen) par elle-même ; elle ne subsiste, pourrait-on dire, que dans l’expression complète obtenue par complétion de sa ou ses places vides, d’où résulte un nom propre. Un nom propre complexe de nombre, comme « 32 + 5 » peut donc être vu comme composé, de différentes manières, de deux types radicalement hétérogènes de constituants : l’un d’eux est insaturé et signifie une fonction, le, ou les autres, sont saturés et signifient des nombres.

Elargissons maintenant ces remarques. Soit la formule (équation) « 34 = 81 ». On peut, là encore, y distinguer : 4 = 81, ce qui fait apparaître ce que par analogie avec ce qui précède, on peut encore appeler une fonction, à savoir  est une racine quatrième de 81 ; ou bien y distinguer 3 = 81 », ( est le logarithme de 81 en base 3), ou bien encore : 3 =  , ce qui fait apparaître la fonction de deux arguments  est le logarithme en base 3 de , etc. La particularité de telles fonctions est que, pour des nombres pris comme arguments, elles ne prennent pas pour valeur des nombres mais ce que Frege conviendra dans les années 1890, d’appeler des valeurs de vérité, à la savoir le Vrai ou le Faux (nous reviendrons sur ce point plus loin). Tout ce que nous avons dit précédemment des fonctions arithmétiques au sens usuel vaut de la même manière pour ce nouveau type de fonction. Il n’y a alors plus qu’un pas à faire pour élargir ces considérations à n’importe quelle proposition, puisqu’une équation ou un inéquation arithmétique n’est rien d’autre qu’une proposition ; c’est ce que l’on a fait ci-dessus.

Chaque analyse d’une proposition singulière aboutit ainsi à la voir comme composée d’une expression insaturée, qui désigne soit un concept, soit une relation, et d’un ou de plusieurs noms propres, désignant ce que Frege appelle en général un objet. La distinction intra-propositionnelle fondamentale pour Frege n’est donc pas celle du sujet et du prédicat, mais de l’insaturé (fonction) et du saturé (argument), étant entendu que ce partage se fait de diverses manières, dont aucune n’a de privilège logique ; et l’unité de la proposition, ce qui en fait à son tour une expression saturée, tient à la complémentarité de ces deux composants qui sont faits l’un pour l’autre, comme un tenon (l’argument) s’imbrique dans une mortaise (la fonction ; d’où la disparition de la copule). Un concept ou une relation établit ainsi une connexion entre un ou des objets et l’une ou l’autre des deux valeurs de vérité ; il, ou elle, ne subsiste donc, comme toute fonction, que dans une proposition.

4. Concept (et relation)

Un concept est donc une fonction dont, en termes usuels, l’ensemble de départ est celui des objets et l’ensemble d’arrivée, l’ensemble à deux éléments {V, F} (Vrai, Faux). Lorsqu’un nom d’objet « a » est mis en place d’argument dans un terme conceptuel (Begriffswort) « F() », et que la proposition ainsi obtenue est vraie (i.e. F(a) = V), on dira (métaphoriquement) que l’objet désigné par « a » « tombe sous » le concept désigné par « F() ». Par exemple, Bradamante tombe sous le concept :  aime Roger, puisque la proposition « Bradamante aime Roger » est vraie. Il faut prendre garde ici au renversement qu’opère Frege : ce n’est pas parce que Bradamante tombe sous le concept :  aime Roger que la proposition « Bradamante aime Roger » est vraie – ce qui supposerait que l’on ait formé ce concept avant de former la proposition -, mais, à l’inverse, c’est parce que cette proposition est vraie que l’on peut dire, après analyse, que Bradamante tombe sous ce concept (cf. Gg, I, § 4).

En mathématique, une fonction, définie sur un ensemble, prend une et une seule valeur pour tous les éléments de cet ensemble, valeur qui peut appartenir à un autre ensemble ou au même ensemble. Appliquer à un concept F(), une telle caractéristique implique que pour tout objet a, il soit déterminé s’il tombe ou non sous le concept, i.e. si F(a) = V ou F(a) = F. Ainsi il doit être déterminé (même si de fait on ne le sait pas) si, par exemple, Vénus (la planète) tombe, ou ne tombe pas, sous le concept  aime Roger, ce qui correspond au fait que la proposition bien formée « Vénus aime Roger » est vraie ou fausse, tertium non datur. Frege refuse donc ce qui était, et est encore souvent admis, à savoir qu’un concept ne vaut que dans les limites d’un « univers de discours ». Par exemple, le concept  est pair, ne semble s’appliquer, véridiquement ou faussement, qu’à des nombres et il peut sembler qu’il n’y a pas de sens à dire que Hector est pair ou que le syllogisme en Ferio est pair. Frege (tout comme Russell du reste) n’admettait pas une telle limitation en vertu de l’argument que si l’on veut dire quelque chose des nombres pairs, par exemple qu’ils sont des multiples de 2, on devrait expliciter cette limitation sous la forme « pour tout x, si x est un nombre entier, alors, si x est pair, x est un multiple de 2 ». Par contraposition cela donne : «pour tout x, si x est pair et n’est pas un multiple de 2, alors x n’est pas un nombre entier » en quoi les valeurs que peut prendre la « variable » ne sont plus limitées aux nombres entiers. Lorsque donc l’analyse d’une proposition conduit à mettre en évidence un concept, on doit préciser quelle valeur il prend pour des arguments auxquels il semble intuitivement ne pas pouvoir s’appliquer et on stipulera, par exemple, que « Hector est pair » est un nom du Faux.

Une autre conséquence immédiate de l’analyse de la proposition en fonction (concept ou relation) et argument, est qu’un concept doit être « strictement délimité  ». Les concepts « flous » comme ceux figurant dans les classiques sorites des anciens,  est un tas,  est chauve, ne sont pas des concepts, puisqu’il n’est pas déterminé si deux cailloux forment un tas on non, ou si Fabius est chauve ou non. C’est là encore en vertu du Tiers Exclu que cette exigence s’impose : une proposition analysée comme composée d’une expression insaturée n’ayant qu’une place vide (concept) et d’un nom propre à la place de cette place vide est vraie ou fausse. En conséquence, l’objet désigné par le nom propre tombe ou ne tombe pas sous le concept désigné par l’expression insaturée, tertium non datur. D’où cette formule qu’utilise Frege dans une lettre à Marty (ou à Stumpf, Bw. p. 164) dès 1882 : « Je considère comme étant essentiel à un concept que la question de savoir si quelque chose tombe sous lui ait un sens », autrement dit que l’on puisse y répondre par oui ou par non, le tiers étant exclu.

En reprenant le vocabulaire traditionnel, mais en le détournant de son sens, Frege admet alors que l’on peut associer à un concept son extension. Qu’un objet entre dans l’extension d’un concept signifie seulement qu’est vraie la proposition obtenue en mettant un nom pour lui en place d’argument dans le terme conceptuel, ce qui, dans les termes utilisés plus haut, revient à dire qu’il tombe sous ce concept. L’extension d’un concept ne tient donc pas sa « réalité » des objets qui entrent en elle et ne doit pas être confondue avec un agrégat, un tas, une totalité, dont l’existence dépend des objets qui les constituent et des relations physiques, spatiales, etc. qu’ils entretiennent. Frege se vante ainsi d’avoir réduit la notion d’« ensemble » qui commençait à être utilisée par les mathématiciens (Cantor, Dedekind…), et qui lui semble trop proche de celle, empirique, d’agrégat ou de totalité, à celle d’extension, soulignant que cette dernière notion est purement logique en ce sens qu’une extension ne tient son « existence » (ou subsistance, Bestand) que du concept lui-même (« Beleuchtung einiger Punkte in Schröders Vorlesungen », K.S., p. 206, « Über Schoenflies… », N. S. p. 199). En témoigne par excellence le fait, qu’à la différence d’une totalité ou d’un agrégat, une extension peut être vide dès lors qu’aucun objet ne tombe sous le concept correspondant, comme l’est par exemple l’extension d’un concept contradictoire : qu’il soit contradictoire ne veut pas dire qu’il ne soit pas « strictement délimité », puisque précisément il est déterminé qu’aucun objet ne tombe sous lui, et cela seul importe. Il n’y aurait évidemment aucun sens à parler d’un agrégat ou d’une totalité vide. De la même manière, dans l’extension d’un concept peut n’entrer qu’un seul objet, comme par exemple dans l’extension du concept  est un satellite naturel de la Terre ; mais la Lune, objet physique, ne peut être confondue avec l’extension de ce concept, objet logique (nous reviendrons sur ce point sensible).

D’un côté, il est donc essentiel qu’il y ait sens à se demander si quelque chose « tombe », ou non, « sous » un concept. D’un autre côté, le concept ne tient pas sa « subsistance » des objets qui tombent éventuellement sous lui ; il la tient de la proposition, en tant qu’elle est vraie ou fausse, en laquelle il a été distingué par analyse. Dans la conception classique du concept, quelle que puisse être les divergences secondaires qui se manifestent selon les auteurs, il est essentiel qu’un concept exprime ce qui est commun et déjà présent dans les objets pour lesquels il vaut et c’est bien pourquoi il peut être considéré comme un « nom commun » à plusieurs : le concept de mammifère ne retient des objets auquel il s’applique que certains traits qu’ils ont en commun et cet « avoir en commun » est donné avant que le concept ne soit formé et en légitime précisément la formation. Le plus souvent c’est à un processus d’abstraction, en des sens certes divers, que l’on attribue la formation d’un concept. Qu’il s’agisse de voir l’homme en Callias et de faire abstraction, dans ce dernier, de ce qui en fait un homme particulier (Aristote), ou qu’il s’agisse de repérer (« réfléchir à », selon Kant) ce en quoi se ressemblent des individus et d’abstraire ainsi la notion générale (le concept) qui exprime ce point de ressemblance et permet de nommer indifféremment tous ceux en qui il se présente (Locke, Kant), le résultat est le même : un concept est toujours une manière de « se rapporter médiatement au moyen d’un caractère qui peut [leur] être commun (C. R. Pure, A 320 / B 377) » à des objets, dont il n’est en réalité qu’une sorte d’émanation ectoplasmique obtenu, à en croire Kant, au terme du triple processus de comparaison, réflexion et abstraction. C’est du reste sur cette base que fonctionnent les syllogismes. On doit toujours pouvoir « descendre aux inférieurs » d’un concept (terme général), ce qu’exprime par excellence le dictum de omni (ainsi que son pendant le dictum de nullo) : on doit pouvoir affirmer ou nier le prédicat d’une universelle de tout ce qui est « sous » le sujet, et ultimement donc des individus qui entrent dans l’espèce dernière (même chose avec les restrictions adéquates pour les particulières). A défaut d’une telle possibilité de descente, un syllogisme ne fonctionne plus, comme c’est le cas dans les exemples classiques : homo est species ; Sortes est homo ; ergo : Sortes est species, ou, et cela est particulièrement intéressant pour ce qui va suivre, dans : les apôtres sont douze, Pierre est un apôtre ; ergo : Pierre est douze. On ne peut donc « dire » d’un concept rien qui ne vaille de ses inférieurs. C’est aussi pourquoi, les termes sujets des jugements universels entrant dans un syllogisme sont supposés n’être pas vides (import existentiel) : les règles de conversion et les relations de subordination, de contrariété et de sub-contrariété du carré logique ne valent que sous ce présupposé (ainsi que les syllogismes en Darapti et Felapton de la troisième figure)  : passer, par exemple, de tous les chevaux sont des mammifères à quelques chevaux sont des mammifères, présuppose qu’il y ait des chevaux (mais cela suppose que l’on traite, comme on le fait à la suite de Frege, les particulières de la tradition comme des existentielles, ce qui ne va pas de soi, voir l’entrée « Syllogisme », § 2. c).

a. Concept (relation) de premier et de second niveau

Le concept frégéen « subsiste », lui, dans le milieu de la proposition, avant que l’on puisse le distinguer en elle et donc avant de pouvoir poser la question de savoir si quelque chose tombe, ou non, sous lui. Il se peut que l’on doive répondre par la négative à cette question, sans que pour autant la légitimité d’un tel concept, en tant que concept, n’en soit affectée : cela signifie seulement que toutes les propositions élémentaires (de la forme « F(a) », avec « a » pour un nom propre) en lesquelles il figure sont fausses. Dire qu’il n’existe rien qui tombe sous un tel concept, ce n’est évidement rien dire de ses inférieurs, mais c’est dire quelque chose de ce concept lui-même. L’inexistence n’est donc pas une propriété d’un quelconque objet mais bien d’un concept et si tel est le cas alors cela vaut tout autant de l’existence. L’existence est ainsi ce que Frege appelle une propriété de deuxième niveau qui peut être attribuée à des concepts de premier niveau, mais pas à des objets. Et Frege ne se priva pas d’en tirer argument contre la preuve ontologique de l’existence de dieu : l’existence n’étant pas une caractéristique du concept (de premier niveau)  est un être tout parfait, c’est à dire une propriété des éventuels objets qui tombent sous lui, on ne peut tirer d’une proposition de la forme a est un être tout parfait, que a existe, alors que l’on peut tirer d’une proposition comme a est un triangle rectangle équilatéral que a est un triangle équilatéral. Plus généralement, une proposition de la forme a existe (ou a n’existe pas) avec a nom propre, n’a pas de sens : ce n’est qu’une manière fallacieuse de dire que le nom « a » ne désigne rien. Cette critique de l’argument ontologique doit être distinguée de celle de Kant, et de celle (plus limitée) de Leibniz.

On doit donc distinguer les caractéristiques dont est composé un concept, et qui sont les propriétés que doivent avoir des objets pour tomber sous lui, des propriétés de deuxième niveau qu’il peut avoir (ou des relations de deuxième niveau qu’il peut entretenir avec d’autres concepts). Ces propriétés (ou relations) sont certes relatives à son aptitude, en général, à subsumer des objets, mais ne conviennent pas aux éventuels objets tombant sous lui (Gl. § 53). Cela revient à distinguer la relation d’un objet à un concept sous lequel il tombe (unter-fallen), de la relation d’un concept de premier niveau, à un concept de deuxième niveau « dans » lequel il tombe (in-fallen). Le cas évoqué ci-dessus de l’existence s’étend à la théorie de la quantification en général, dont l’« invention » est à mettre au crédit de Frege et qui dépend directement de l’analyse en fonction et argument. Lorsque l’on écrit, dans la notation usuelle, quelque chose comme « x= x », la présence de la « variable » signale habituellement que l’on admet que cela vaut pour tout argument (nombre) en place de la variable, ce qui dans ce cas est évidemment faux ; mais qu’en est-il alors de la négation de cette fausseté? Si l’on écrit quelque chose comme « non (x2= x) », on ne peut savoir si l’on a affaire à la généralité de la négation ou à la négation de la généralité ; il faut donc pouvoir préciser comment négation et généralité se combinent et c’est précisément ce que permet la notation pour la généralité introduite par Frege. Dans la notation devenue habituelle (« ∀ » → « pour tous », « ~ » → « non »), on peut, et on doit, distinguer «∀ x ~(x2 = x) », qui est faux, de « ~∀x (x2 = x) », qui est vrai. Et puisque « ∀x ~(x2 = x) » est faux, sa négation « ~∀x ~(x2 = x) » est vraie et peut se lire : « il est faux que, pour tout argument mis en place de x, x2 = x soit faux », autrement dit, de manière un peu moins alambiquée : « il existe au moins un argument pour lequel x2 = x est vrai » ce que l’on peut symboliser par : « ∃x (x2 = x) » (« ∃x » « il existe au moins un argument tel que… » ; Frege se contente d’introduire dans son symbolisme l’équivalent du quantificateur universel, l’existentiel étant donc exprimé par « ~ ∀ ~ »). Quantification universelle et existentielle ont donc même statut logique : il s’agit dans les deux cas d’exprimer une propriété d’un concept, ici du concept  est identique à son carré. On peut traduire approximativement ∀x (x2 = x) par : la valeur du concept 2 = est le Vrai pour tout argument (ce qui est faux) ; et ∃x (x2 = x) par : la valeur du concept 2 = est le Vrai pour au moins un argument (ce qui est vrai). Ni dans un cas ni dans l’autre, il n’est dit quoi que ce soit des objets (nombres) dont les noms peuvent venir en place d’argument mais il est attribué (faussement ou véridiquement) une propriété au concept  est identique à son carré.

Les quantificateurs permettent alors, combinés aux « connecteurs propositionnels », d’exprimer toutes sortes de propriétés et relations entre concepts, à commencer par ce que Frege appelle la relation de subordination entre concepts : lorsque nous affirmons que les chevaux sont des mammifères, nous ne parlons ni de Bellerophon ni de Rossinante, ni d’un quelconque autre cheval en particulier : nous affirmons que le concept  est un cheval est subordonné au concept  est un mammifère et cela s’exprime simplement dans le symbolisme par : ∀x(x est un cheval ⇒ x est un mammifère). En général, cette relation de subordination entre concepts de premier niveau s’exprimera donc par : ∀x[φ(x) ⇒ ψ(x)], en quoi « φ » et « ψ » tiennent lieu de signe d’argument, mais cette fois-ci il s’agit d’arguments qui ne peuvent être que des concepts de premier niveau, et non des objets, et donc la formule précédente exprime une relation de deuxième niveau.

On voit donc, et c’est là encore une innovation capitale de Frege, qu’il faut distinguer rigoureusement entre subsomption d’un objet sous un concept et subordination d’un concept sous un autre concept. La première relation est notée, en général : « φ() » qui est une relation de « niveau inégal » (« φ » tenant lieu d’un terme conceptuel, et «  » d’un nom d’objet), dont on voit immédiatement qu’elle ne peut se confondre avec la relation de subordination entre concepts telle que l’on vient de la noter ci-dessus (en termes ensemblistes, cela revient à distinguer la relation d’appartenance d’un élément à un ensemble et celle d’inclusion d’un ensemble dans un (autre) ensemble). Cela signifie que la traditionnelle copule a, logiquement, une signification toute différente dans « Aspasie est une hétaïre » et dans « les hétaïres sont des courtisanes » et qu’il n’y a donc aucun sens à se demander si la première proposition est, ou non, une universelle. De manière plus générale, la distinction frégéenne, permet de faire face à l’argument de quelqu’un comme Mill qui prétendait que, par exemple, dans un pseudo-Barbara avec mineure singulière (cf. plus haut § 3.a.), la conclusion n’apporte rien de plus que ce qui est affirmé dans la majeure, puisque, selon Mill, en affirmant, par exemple, que les hétaïres sont des courtisanes, on a déjà admis qu’Aspasie en était une, le terme général « hétaïre » la « nommant » déjà, ainsi que d’autres femmes, dans la majeure. Cela revient donc à concevoir le terme conceptuel  est une hétaïre comme un « nom commun », c’est à dire un nom de plusieurs (objets). Mais, comme on l’a vu, pour Frege, un terme conceptuel ne nomme aucun objet, il désigne un concept. L’universelle « les hétaïres sont des courtisanes » ne dit donc rien à propos d’une quelconque femme, et donc rien à propos d’Aspasie (cf. Gl. § 47, « Über Schröder… », K.S., p. 209).

Un autre exemple simple de propriété de deuxième niveau que l’on peut exprimer avec notre appareil symbolique (actualisé) est le suivant : ∃x[φ(x) ∧ ∀y(φ(y) y)], en quoi « φ » tient lieu d’argument. « Dans » ce concept de deuxième niveau tombe tout concept de premier niveau sous lequel ne tombe qu’un et un seul objet, comme par exemple  est un nombre premier pair. Il est bien clair que l’on ne doit pas confondre, mais on ne le peut plus dans la Begriffsschrift, la relation d’un concept de premier niveau à un concept de deuxième niveau « dans » lequel il tombe, avec la subordination d’un concept de premier niveau à un concept de même niveau ; autrement dit, on ne doit pas, et on ne peut plus, confondre homo est species et omnis homo est animal.

b. Une difficulté dans la théorie frégéenne du concept

Cette théorie du concept présente une difficulté qui fut soulevée par un jeune philosophe autrichien, B. Kerry, dans une série d’articles parus entre 1885 et 1891. Kerry objectait à la stricte distinction entre concept et objet que l’on pouvait traiter un concept comme un objet : ainsi lorsque l’on dit « le concept “cheval” est un concept que l’on acquiert facilement », il semble que « le concept “ cheval ” » joue le rôle d’un objet dont on dit qu’il est subsumé sous le concept « concept que l’on acquiert facilement ». Si, comme Frege l’admet, l’article défini signale que l’on parle d’un objet (« la capitale de la France »), mais que, d’autre côté, on soutient qu’un concept ne peut être un objet, on devrait en conclure que le concept « cheval » n’est pas un concept, ce qui semble absurde. C’est ici la nature insaturée du concept est cheval qui est en cause : dans « le concept “cheval” » l’insaturation du concept n’apparait plus. Pour l’essentiel, Frege considérait qu’il s’agissait là d’un embarras résultant des imperfections du langage naturel. Dans la Begriffsschrift, on ne voit jamais apparaître un concept sans sa place vide et on ne peut former une expression comme « le concept “cheval” ». Du reste, même dans le langage naturel, le recours aux guillemets autour de « cheval » indique que l’on ne peut mettre sur le même plan l’exemple de Kerry et une proposition comme « la ville de Bogota est une ville », dans laquelle il n’est pas nécessaire d’user de guillemets. Cet embarras a cependant fait couler beaucoup d’encre et Frege lui-même n’a cessé d’y revenir, toujours pour mettre en garde contre la possibilité offerte par les langages naturels de transformer un concept en un objet (cf. par exemple, « Einleitung in die Logik », N. S., p. 210). Il s’est même reproché, à la fin de sa vie, de ne pas avoir respecté cet impératif lorsqu’il a cru que l’on pouvait passer d’un concept à son extension et considérer celle-ci comme un objet en raison du fait que l’on pouvait dire quelque chose comme : « l’extension du concept F() », ce qui était une manière à peine détournée de traiter les concepts comme des objets (cf. « Erkenntnisquellen der Mathematik… », N. S., p. 288-289). Comme on le verra bientôt, ce fut là l’origine de la contradiction.

5. Qu’est-ce qu’un nombre (cardinal) ?

Frege estimait que « c’est proprement un scandale que la science ne soit pas encore au clair sur la nature du nombre (« Über die Zahlen des Herrn H. Schubert », K. S., p. 240). ». Il a ainsi consacré la deuxième et la troisième partie des Grundlagen à passer en revue et à critiquer sévèrement ce qu’il a pu trouver dans la littérature, aussi bien philosophique que mathématique, comme « définition » du nombre. L’ambition de Frege est double : fournir une définition du nombre cardinal qui permette de comprendre comment les nombres sont appliqués dans les domaines les plus divers, tant dans la vie quotidienne que dans la science, et qui permette simultanément d’en faire le point de départ de l’édifice logico-arithmétique dans lequel déduire les lois fondamentales du nombre cardinal (dans ce qui suit nous ne répéterons pas qu’il ne s’agit que des nombres cardinaux, ceux qui répondent à la question « combien? »).

a. Critique de diverses conceptions du nombre

Voici, sommairement résumés, quelques éléments importants de la discussion « dialectique » (au sens d’Aristote) par laquelle commencent les Grundlagen.

Une donnée numérique apparaît parfois comme un adjectif au même titre que la couleur ou le poids : « Ces quatre lourdes caisses sont noires » : mais chaque caisse est noire et lourde, aucune n’est quatre ; on retrouve le « paradoxe » des douze apôtres et « quatre » n’est pas donc pas une propriété des objets.

Pour échapper à cet embarras, on pourrait dire qu’une donnée numérique s’applique à un agrégat, une collection ou à un tas : mais de quoi est constitué un agrégat? de cailloux, de molécules de cailloux, de groupes de cailloux, de cailloux gros ou petits? On ne sait à quoi s’applique objectivement la donnée numérique et il semble donc qu’il faille introduire une manière arbitraire et subjective de considérer l’agrégat en question sous tel ou tel aspect. Mais une donnée numérique est parfaitement objective : il y a quatre lunes galiléennes de Jupiter. Une donnée numérique n’est donc pas une propriété d’un agrégat pris comme tel, ni une simple représentation subjective.

Plus généralement, le nombre ne peut surgir de la considération de quelque chose de physique car, comme on l’a déjà noté au § 2, cela impliquerait qu’il ne peut s’appliquer qu’au domaine du physique, alors que l’on peut nombrer ce qui n’appartient pas à un tel domaine (des syllogismes, des idées, les racines d’une équation, etc.)

Si l’on en revient à la vieille définition pythagoricienne du nombre comme pluralité d’unités, il faut préciser ce que l’on entend par « unité » et « un ». Or tout peut être admis comme étant « un », et l’indivisibilité ne peut servir ici puisqu’il n’y a rien de réellement indivisible. Il faudrait donc en revenir à une conception subjective : est « un » ce que l’on considère comme tel. De plus, pour qu’il y ait nombre, il faudrait que les unités soient parfaitement identiques entre elles, mais alors les identiques se confondent et ne font plus qu’un ; on n’en arrive donc pas à une pluralité nombrable. Enfin, ces unités ou ces uns qui sont tout ce qui reste des objets lorsque l’on fait abstraction de toutes leurs particularités, et à supposer qu’ils soient encore discernables, n’ont rien à voir avec le 1 de l’arithmétique qui est unique.

b. Nombre, concept, objet

Au terme de cet examen critique, Frege en arrive à une première conclusion (Gl. § 46), celle qui lui semble la plus importante (cf. Gg., p. ix) : « la donnée d’un nombre enferme un énoncé sur un concept ». C’est donc, en première approximation, une « propriété » d’un concept qui se rapproche de l’existence si l’on songe à une proposition comme « il n’y a pas de dieu » qui revient à attribuer au concept  est un dieu le nombre 0. De la même manière, dire qu’il y a quatre lunes galiléennes de Jupiter, c’est attribuer au concept  est une lune galiléenne de Jupiter le nombre quatre. Comme on l’a vu, un concept n’est pas le produit d’un « acte de l’entendement » qui serait issu de la considération de ce que peuvent avoir en commun des objets ; une telle conception rend incompréhensible qu’à un concept, et par là à son extension, revienne un nombre déterminé : comme le disait Mill, dans l’Examen de la Philosophie de Hamilton (p. 83) « il est de la nature et de la constitution même d’une notion générale que son extension soit sans limite » et soit donc numériquement indéterminée. A l’encontre de cela, la conception frégéenne du concept exposée ci-dessus, permet de comprendre qu’à un concept soit attaché un nombre déterminé. Certes, il peut se faire que nous soyons, de fait, incapable de répondre à la question « combien? », mais la thèse frégéenne ne concerne que le statut logique de l’attribution numérique : en vertu de ce qui a été dit plus haut, un concept frégéen est nécessairement « strictement délimité » ce qui signifie que, pour tout objet, il est possible de déterminer s’il tombe ou non sous ledit concept, et donc, logiquement, à un concept frégéen revient un et un seul nombre, d’où cette formule : « … je caractérise un concept comme ce en quoi se trouve un nombre… (« Über formale Theorien der Arithmetik », K.S., p. 105) ». Remarquons qu’une telle caractérisation ne vaut que pour les concepts que l’on appelle, à la suite de Locke, « sortaux », ceux qui, selon la formule de Frege, « délimitent de manière déterminée ce qui tombe sous eux et ne permettent aucune division arbitraire (Gl., § 54) ». Cela exclut, par exemple, les « termes de masse », comme « fer », « pétrole », « ciment », etc.

La deuxième conclusion, qui vient amender la première, est que la donnée d’un nombre ne consiste pas à traiter un nombre simplement comme une propriété (de second niveau) d’un concept, mais seulement qu’une donnée numérique « enferme » une assertion (Aussage) sur un concept. Les nombres, en effet, sont traités en arithmétique comme des objets « indépendants » (selbständig) ayant chacun un nom propre et il faut donc se garder d’y voir des concepts (de second niveau) : il n’y a aucun sens à parler au pluriel des 5 ou des 12, et il ne faut pas se laisser influencer par des formulations en langage ordinaire qui semblent traiter les nombres comme des propriétés. C’est pourquoi Frege préfère formuler une attribution numérique sous la forme « le nombre des apôtres est douze », plutôt que sous la forme « les apôtres sont douze ». Le « est » de la formulation frégéenne signifie l’identité, puisque « le nombre des apôtres » est un nom propre désignant un objet, tout comme « douze ».

C’est un objet dont nous n’avons ni « représentation ni intuition » (Gl. § 62). Cette thèse peut sembler contestable : d’un objet « indépendant », comme une étoile ou une pâquerette, nous pouvons nous former une représentation, et on peut donc avoir le sentiment qu’il est abusif d’accorder à 4 ou à 12 le statut d’objet « indépendant ». Outre divers arguments contre l’idée qu’il devrait être toujours possible de se représenter un objet, Frege invoque, contre ce préjugé, un principe heuristique dit, dans la littérature secondaire, « principe de contextualité » : « On doit s’interroger sur la signification d’un mot pris dans un contexte, pas pris isolément, (Gl., p. x) » (Autre formulation : « C’est, à proprement parler, seulement [dans une proposition complète] que les mots ont une signification (Bedeutung) (Gl. § 60, cf. également, § 62, § 106 » ; Wittgenstein reprendra presque mot pour mot ce « principe » dans le Tractatus, en 3.3). Dans l’optique du Frege des Grundlagen, ce « principe » a une triple portée. Il permet, tout d’abord, de se dégager du préjugé que l’on vient d’évoquer, puisqu’il permet de ne pas se laisser enfermer dans l’alternative : soit un mot signifie quelque chose de physique, soit il signifie une idée (représentation). Frege avait montré qu’un nom de nombre ne peut signifier ni l’un ni l’autre, mais cela n’interdit nullement qu’il puisse signifier un objet indépendant dès lors que l’on remarque qu’il fonctionne comme un nom propre dans le contexte d’une proposition exprimant une donnée numérique (Gl., § 106). En second lieu, il permet de dissiper le sentiment, que pouvaient donner les formulations des § 46 et 48, qu’un nombre est une propriété (de second niveau) d’un concept de premier niveau: dans la formule « le nombre n revient au concept F() », « n » n’est qu’une partie du prédicat dont le sujet est « F() », à savoir « le nombre n revient à — » (id. § 60). Enfin, en troisième lieu, il permet d’isoler un type fondamental de proposition concernant des objets, à savoir les énoncés d’identité, «  est identique à  », ce que Frege appelle un « jugement de recognition » : on doit être toujours en mesure de déterminer si un objet donné d’une certain manière est le même que celui qui est donné d’un autre manière (« pas d’entité sans identité », dira plus tard Quine).

Ce « principe » a fait couler beaucoup d’encre, aussi bien à propos de sa place exacte dans la pensée de Frege, que de la signification générale que l’on peut lui attribuer. Notons seulement qu’il s’accorde parfaitement avec le primat, pour l’analyse logique, de la proposition entière sur ses constituants, primat qui est au cœur de la théorie frégéenne du concept, comme on l’a vu plus haut. Quine louera Frege d’avoir ainsi admis que « le véhicule premier de la signification est l’énoncé, pas le terme », même s’il défendra lui-même l’idée qu’il faut aller plus loin encore et admettre que c’est la science tout entière qui constitue l’unité de signification (empirique) (cf. « Two dogmas… », in From a Logical Point of View, p. 39, 42).

c. Définition du nombre

Il s’agit donc de définir le sens d’une proposition de la forme : « le nombre qui revient au concept F() est identique au nombre qui revient au concept G() ». En suivant une suggestion de Hume (citée par Baumann), mais également une idée proche (s’agissant d’ensembles) déjà avancée par Cantor dès 1878, il est naturel d’admettre que si deux concepts sont tels qu’à chaque objet qui tombe sous l’un correspond un et un seul objet qui tombe sous l’autre et réciproquement, un même nombre leur revient.

Par exemple, soit les concepts est une lune galiléenne de Jupiter et est une figure du syllogisme. On peut faire correspondre par une relation R(, , à chaque objet qui tombe sous le premier concept un et un seul objet qui tombe sous le second, et inversement ; par exemple :

Io  ↔  1ère figure

Europe  ↔  2ème figure

Ganymède ↔ 3ème figure

Callisto ↔  4ème figure.

On appelle une relation comme R(, , une correspondance 1-1 (cela correspond à ce qu’en mathématique on appelle une bijection). Frege dit de deux concepts qui entretiennent une telle relation qu’ils sont « équinumériques » (en termes cantoriens, « équipotents », mais l’équipotence s’applique directement aux ensembles, pas aux concepts ; remarquons que le terme frégéen « équinumérique », malgré les apparences, ne suppose encore nulle notion des nombres, mais seulement celle de « correspondance 1-1 » que l’on peut définir de manière purement logique). En général, donc : F() est équinumérique à G() (en symbole : F() G()) si et seulement s’il existe une relation R(,  telle que pour tout x tombant sous F(), il existe un et un seul y tombant sous G() et tel que R(x,y) ; et réciproquement : pour tout x tombant sous G(), il existe un et un seul y tombant sous F() et tel que R*(x, y) (R*(, est la converse de R(, i.e. x,y(R*(x, y)  R(y, x)), par exemple :  est plus grand que  est la converse de  est plus petit que ). Le critère d’identité de deux nombres est donc (avec « N(F()) » pour : « le nombre qui revient à F() ») :

N(F()) = N(G()) si et seulement si F() G()

Ce critère est maintenant appelé « Principe de Hume » dans la littérature secondaire.

Intuitivement, cela revient à remarquer qu’un enfant qui ne sait pas encore compter pourrait savoir qu’il y a autant de couteaux que de fourchettes sur la table, en se contentant de constater qu’à chaque couteau correspond une fourchette et inversement, alors qu’il n’est pas encore en mesure dire s’il y en a 8, 10 ou 12. Autrement dit, en anticipant sur son apprentissage de l’arithmétique élémentaire, on peut dire que cet enfant pourrait ainsi savoir qu’il y a le même nombre de couteaux que de fourchettes.

Pour des raisons subtiles, qui n’ont pas toujours convaincu les commentateurs, Frege estime que le « Principe de Hume » n’est pas suffisant. L’argument essentiel qu’il avance est qu’il n’est applicable que si les deux membres de l’identité sont donnés sous la forme N(F()), mais que ce n’est plus le cas l’on se trouve devant quelque chose comme N(F()) = q, « q » prenant la place d’un nom propre. Il faudrait d’abord déterminer que q est un nombre, ce que ne permet pas le Principe de Hume. Il ne suffit donc pas de disposer d’un critère d’identité, il faut pouvoir disposer du concept de Nombre en général, ce qui permettra alors de déterminer si q est un nombre.

Pour ce faire, Frege recours à un procédé de définition promis à un bel avenir, les définitions « par abstraction » (mais qui évite l’abstraction comme le dira plus tard Russell) qui repose sur la notion logique de relation d’équivalence (relation réflexive, symétrique et transitive ; sur les définitions par abstraction voir l’entrée « Définition », § 12).

Comme l’équinuméricité est clairement une relation d’équivalence, on peut former la classe d’équivalence d’un concept F() pour cette relation, c’est à dire, dans le vocabulaire de Frege, l’extension du concept est équinumérique à F() : un même nombre revient à l’évidence à tous les concepts entrant dans cette extension (classe d’équivalence) et à chaque classe d’équivalence ne correspond qu’un et un seul nombre. On définit alors le nombre qui revient au concept G() comme étant l’extension du concept  est équinumérique à G(). Comme Frege admet dans les Grundgesetze que l’on peut substituer à un concept son extension, c’est à dire la « classe » des objets qui tombent sous lui, on peut exprimer ce qui précède en disant qu’un nombre (cardinal) est une classe de classes équinumériques entre elles. Une caractéristique importante de cette définition est qu’elle est indifférente à la distinction du fini et de l’infini.

Sur cette base, il est alors aisé de démontrer le Principe de Hume » (cf. Gl., § 73, Gg. II, théorème 32 et 49).

Pour Frege, comme on l’a vu, une extension de concept (une classe) est un objet, et donc cette définition s’accorde avec le fait qu’en arithmétique les nombres sont des objets, pas des propriétés (de second niveau). Comme on le verra bientôt, ce fut là la source de la contradiction que Russell découvrira un peu plus tard.

Cette définition, que retrouvera Russell, a semblé très étrange à bon nombre de contemporains, à commencer par le jeune Husserl de la Philosophie de l’arithmétique, mais aussi à Peano, par exemple. Il semble curieux de considérer que le nombre des doigts de ma main droite est une classe à laquelle appartient la classe des doigts de la main gauche de César ou celle des sommets de tel ou tel pentagone. Ce genre de critique repose sur la confusion entre extension de concept et pluralité, agrégat, collection, etc. Une extension de concept, avons-nous vu, n’est pas constituée par les objets (ici des classes) qui entrent en elle, c’est un objet « abstrait » bien déterminé. Plus généralement, une définition de ce genre ne peut être jugée sur la base d’une quelconque intuition que l’on serait supposé avoir de la notion définie, car cette « intuition » est le plus souvent passablement vague et ne peut à proprement parler être comparée à la définition exacte que l’on donne de la notion en question (cf. « Logik in der Mathematik », N. S., p. 226-227). D’une certaine façon, la seule chose que l’on « sait » (avant Frege ?) du nombre en général et des nombres particuliers, est ce que l’on en fait en arithmétique et dans ses applications. La seule chose qui peut donc sanctionner une définition formellement exacte est qu’elle permette de retrouver les théorèmes habituels de l’arithmétique, ce qui est bien le cas ici. Il résulte toutefois de cette circonstance que la définition frégéenne (mais aussi russellienne) du nombre cardinal n’est peut-être pas la seule possible et qu’il pourrait y en avoir d’autres remplissant le même office, ce que Frege semblait admettre à demi-mot au § 107 des Grundlagen.

6. Les nombres finis

Pour en arriver à la construction logique des entiers naturels, Frege reprend ce qui lui semble la solution la plus satisfaisante et dont on trouve les prémices chez Leibniz (cf. Gl. § 6) : les entiers naturels sont obtenus à partir de 0 par addition successive de 1. Cela suppose que l’on définisse 0, 1 et la relation précède immédiatement  dans la suite des nombres. Pour ce qui est de 0, il suffit de considérer le concept  ≠  (être différent de soi-même) qui est (logiquement) vide : l’extension du concept  est équinumérique au concept  ≠  ne contient que des concepts vides, autrement dit que des concepts sous lesquels rien ne tombe et il semble raisonnable d’admettre que c’est de ces concepts qu’il est dit que 0 est le nombre qui leur revient. Frege définit ensuite 1 comme l’extension du concept  est équinumérique au concept  = 0 (identique à 0).

Il faut maintenant définir la relation  précède immédiatement  dans la suite des nombres (P( )). Partons d’un cas particulier. Soit un concept F() et un objet a qui tombe sous lui, et notons le nombre qui lui revient N(F()) = n. A partir de F(), on définit le concept F()  ≠ a. Tombent sous ce concept tous les objets qui tombent sous F() à l’exception de a. Il est raisonnable d’admettre qu’alors le nombre qui revient à ce concept, i.e. N(F()   ≠ a) = m, est, pour le dire communément, inférieur de 1, à N(F()) = n. Autrement dit, m précède immédiatement n dans la suite des nombres (ou n succède immédiatement à m dans la suite des nombres).

On définit maintenant en général  précède immédiatement ν (P( ν)) dans la suite des nombres par :

P( ν) = dff, ∃x[N(f()) = ν  f(x) ∧ N(f() ∧  ≠ x) = 

(Il est loisible, mais moins lisible, d’exprimer cela directement en termes d’extensions de concept.)

Il faut alors montrer que tout nombre n’a qu’un seul successeur, que deux nombres distincts ont des successeurs distincts, que 0 n’a pas de prédécesseur, et précède immédiatement 1, etc. Une fois définie cette relation, Frege peut faire usage de la définition, qu’il avait donnée dans la Begriffsschrift de 1879, de :  suit  dans une R-suite et définir alors un nombre fini comme étant un membre de la suite déterminée par la relation P( ) commençant par 0. Ce qui revient donc à définir un entier fini comme étant obtenu à partir de 0 par addition successive de 1.

a. Propriété héréditaire, suivre dans une suite

Attardons-nous quelques instants sur la définition de  suit  dans une R-suite (R(, ) étant une relation quelconque) car elle est un aspect essentiel de l’anti-kantisme de la conception frégéenne de l’arithmétique. Prenons l’exemple paradigmatique de la relation est père ou mère de  (on la notera Par()). Dans le langage ordinaire on « compose » cette relation avec elle-même sous la forme est grand-parent de  est arrière grand-parent de  Formellement, cela revient à faire le « produit logique » de la relation Par() avec elle-même : si Mathilde est grand-mère de Paul, c’est qu’il existe une personne a telle que Mathilde est mère de a et a est père ou mère de Paul. En général, donc, la produit logique d’une relation R(, ) avec elle-même – que l’on note R1(, ) –  se définit par : R1(x, z) =df y[R(x, y) R(y, z)]. On peut évidemment continuer et définir sur le même mode les relations R2(, ), R3(, ), R4(, ), etc. On appelle Rn(, ), la puissance n-ième de R(, ). On dit alors, pour reprendre notre exemple, que a est un ancêtre de b si et seulement si Par(a, b) Par1(a, b) Par2(a, b) Par3(a, b), … etc. ; c’est à dire : a est un ancêtre de b s’il existe une « puissance » finie quelconque de Par() reliant a à b. Mais, si l’on sait déjà ce qu’est un nombre cardinal en général, qu’il soit fini ou infini, on ne sait pas encore ce que veut dire « nombre (puissance) fini », et notre « etc. » reste donc suspendu en l’air. Il s’agit donc de définir la relation  est un ancêtre de   sans recourir à cette notion de « nombre fini ».

Pour ce faire, on définit tout d’abord la notion de « propriété héréditaire pour une relation R(, ) » (pour simplifier on dira « propriété R-héréditaire »). Reprenons notre exemple. Admettons que si l’un des parents d’un enfant est un pécheur, ses enfants sont également des pécheurs ; or Eve est une pécheresse. Tous les enfants d’Eve sont donc pécheurs, ainsi que les enfants de leurs enfants, etc. La propriété d’être pécheur se transmet de génération en génération. On dira alors que cette propriété est Parhéréditaire. En général, on définit donc F() est R-héréditaire par : xy[(F(x)  R(x, y)) F(y)].

On peut maintenant définir en général la relation correspondant dans notre exemple à  est un ancêtre de , à savoir, en termes frégéens :  est un membre de la R-suite commençant par , ou, plus intuitivement :  est un « ancêtre » de  pour la relation R(, ). Pour ce qui va suivre, on admet que est un « ancêtre » de lui-même. La définition s’énonce :

il existe x tel que R(, x) et possède toutes les propriétés R-héréditaires que possède.

Cette relation, en vertu de l’analogie avec la relation d’ancêtre à descendant, est appelée depuis lors l’« ancestrale » (faible) de R(, ), et peut être notée (à la suite de Carnap et pour éviter la notation plus compliquée de Frege) : R≥0(, ).

On peut montrer intuitivement comme suit la pertinence de cette définition. Dans un sens, elle est évidente : si Eve possède une propriété qui se transmet de génération en génération (comme celle d’être pécheresse), n’importe quel descendant d’Eve possèdera cette propriété. Dans l’autre sens, les choses sont un peu plus subtiles. Comme on l’a indiqué, Eve a la propriété d’avoir Eve pour ancêtre et les enfants d’Eve ont évidemment Eve pour ancêtre, et transmettent cette propriété à leurs propres enfants, qui à leur tour, etc… Autrement dit, la propriété d’avoir Eve pour ancêtre est Par-héréditaire et comme Eve possède cette propriété, quiconque possède toutes les propriétés Par-héréditaires d’Eve, possède cette même propriété et a donc Eve pour ancêtre.

Il suffit maintenant d’appliquer cette définition à la notion de nombre fini : un nombre est fini si et seulement s’il possède toutes les propriétés P-héréditaires que possède 0, autrement dit s’il appartient à la P-suite commençant par 0. Un nombre cardinal est infini si et seulement s’il n’est pas fini : comme on sait sans doute, le plus petit nombre cardinal infini est celui qui revient au concept  est un nombre fini (ou, comme on le dit plus couramment : il y a une infinité (dénombrable) de nombres finis).

Cette définition va directement à l’encontre de l’affirmation de Kant (si tant est que l’on puisse lui attribuer une thèse précise sur ce point) que l’« arithmétique élabore elle-même ses concepts de nombre par addition successive des unités dans le temps (Prolégomènes… § 10, nous soulignons, voir également, C. R. Pure A, 142-143 / B 182). Plus simplement, comme le disait J. Schultz (approuvé par Kant) « …compter ne s’effectue que par l’entremise du temps (vermittelst der Zeit) (Erläuterungen… p. 24) ». Et c’est sur le fond de ce rapport au temps que Kant pouvait soutenir la thèse contoversée qu’une formule comme 7 + 5 = 12 était synthétique a priori car pour en arriver à 12, il faut ajouter successivement à 7 les 5 unités composant, par exemple, les doigts de ma main (C. R. Pure, B 15-16). Or, répète Frege, le temps n’a rien à faire en arithmétique, pas plus qu’une intuition si « pure » soit-elle, comme le proclamait déjà Bolzano. C’est pourquoi, il ne manque pas de s’enorgueillir dans la Begriffsschrift de 1879 (§ 23) d’avoir pu fournir une définition logique très générale de « suivre dans une R-suite », notion qui, dit-il, faisant allusion à Kant, « ne semble possible, au premier abord, que sur le fondement d’une quelconque intuition ».

Cette définition, appliquée à la suite des nombres finis, est d’autant plus importante, qu’en découle le principe d’induction complète (voir l’entrée « Induction mathématique »), sur lequel repose un type de raisonnement (dit souvent « par récurrence ») caractéristique des mathématiques et que la logique traditionnelle était bien incapable de justifier. C’est là un acquis capital pour la thèse logiciste, qui se doit de pouvoir montrer, non seulement que les notions fondamentales de l’arithmétique peuvent être définies en termes purement logiques, mais aussi que toutes les formes de raisonnement que l’on y trouve appartiennent à la logique. Du reste, on peut supposer (cf. Russell, Friedman) que ce fut, pour une part, l’impossibilité d’intégrer à la logique traditionnelle un certain nombre de formes de raisonnement mathématique qui conduisit Kant à admettre qu’il fallait recourir, en mathématiques, à des constructions dans l’intuition pure pour la conduite des preuves.

7. La contradiction

Pour Frege, comme l’on a vu, la construction logique de l’arithmétique dont nous venons d’indiquer très sommairement quelques éléments, suppose que l’on puisse traiter les nombres (cardinaux) comme des objets. Puisque l’arithmétique est censée être une branche de la logique, il faut donc admettre qu’il y a des objets logiques, ou, si l’on veut, que l’on peut définir purement logiquement des objets. La double thèse de Frege, à cet égard, est, comme on l’a vu, qu’à tout concept (ou relation) est attachée son extension et qu’une extension de concept (ou de relation) est un objet. Cette double thèse permettait également à Frege de tout exprimer, dans les Grundgesetze, en termes d’extensions de concept ou de relation. Le critère d’identité de ces objets logiques est alors : l’extension du concept F() est identique à l’extension du concept G() si et seulement si tout objet qui tombe sous F() tombe sous G() et réciproquement. Ce critère est de même forme que le « Principe de Hume » pour les nombres, mais, contrairement à ce qui était possible pour les nombres (en recourant précisément à cette notion d’extension de concept), Frege ne pouvait donner une définition explicite d’une extension et devait se contenter d’un tel critère qu’il tenait pour une loi logique fondamentale (c’est la loi V des Grundgesetze), tout en notant qu’« une discussion ne peut surgir qu’à propos de ma loi fondamentale concernant les parcours de valeurs (V) (Gg. I, p. vii) » (les extensions de concept ou de relation sont des cas particuliers de la notion générale de « parcours de valeurs » qui vaut pour toute fonction).

Cela fut fatal à son entreprise : le 16 juin 1902, alors que le deuxième volume des Grundgsetze était déjà terminé et prêt à être publié, Russell lui écrivit que l’on pouvait dériver une contradiction dans son système. C’est la contradiction de la « classe » des classes qui ne s’appartiennent pas à elles-mêmes (voir pour plus de détail l’entrée « Définition », § 9), contradiction que l’on peut former dans le système de Frege puisque, une extension étant un objet, et un concept devant pouvoir prendre comme argument tout objet, il est loisible de former l’expression « ~F() », «  » étant le nom de l’extension du concept F(), d’où il résulte que n’appartient pas à l’extension de F(), i.e. précisément à  ; on peut ensuite former l’extension du concept : est une classe qui ne s’appartient pas à elle-même ; d’où la contradiction. Frege répondit à Russell, le 22 du même mois : « Votre découverte de la contradiction m’a stupéfait au plus haut point et pourrais-je presque dire, m’a bouleversé, car elle a ébranlé le fondement sur lequel je pensais construire l’arithmétique. Il semble ainsi […] que ma loi V soit fausse… (Bw. p. 213) ». Dans un appendice au deuxième volume des Grundgesetze, Frege proposa, en toute hâte, une correction à cette loi, mais il s’avéra que cela ne suffisait pas (cf. Quine, « On Frege’s Way out »).

Frege en vint donc à abandonner la thèse que la « source logique de connaissance » pouvait nous donner des objets, et plus généralement, en vint à considérer que la théorie des ensembles était « réduite à néant » (cf. « Erkenntnisquellen der Mathematik… », N. S., p. 289). A la fin de sa vie, il caressa l’idée de fonder l’arithmétique sur la géométrie, mais cela resta à l’état d’esquisse.

Que reste-t-il alors de sa tentative de montrer que l’arithmétique est une branche de la logique? D’une part, le calcul avec les valeurs de vérité (calcul des propositions) et la théorie de la quantification font maintenant partie de la logique standard ; d’autre part, il a été montré que, pour l’arithmétique, l’essentiel des Grundgesetze pouvait être « sauvé » à condition d’abandonner la loi V (et donc d’abandonner les extensions) et de réinterpréter son arithmétique en deuxième ordre en adoptant comme axiome, pour les nombres, le Principe de Hume. Il se trouve en effet que Frege ne fait un usage essentiel des extensions de concept que dans la déduction de ce Principe à partir de sa définition du nombre ; une fois ce Principe admis, tout le reste peut être conservé (en deuxième ordre). Une des questions longuement débattues ces dernières années est de savoir si l’on peut tenir ce Principe pour une vérité analytique et si donc on peut continuer à donner un certain sens à la thèse logiciste (cf. Boolos, Hale, Wright, Heck). Il s’agit là malheureusement de questions très techniques dans lesquelles nous ne pouvons entrer ici.

8. Philosophie de la logique

L’essentiel des innovations « techniques » introduites par Frege est certes devenu un lieu commun de la logique contemporaine, mais il n’en va pas de même de la conception que notre auteur se faisait de la logique (et par voie de conséquence de l’arithmétique).

On peut caractériser sommairement la manière de procéder de la logique contemporaine de la manière suivante. On construit un langage artificiel (symbolique) qui reprend pour l’essentiel les acquis frégéens : son vocabulaire est constitué de lettres de prédicat (à n places d’argument, n fini quelconque), de variables d’individu en nombre infini dénombrable, des connecteurs propositionnels et des quantificateurs (éventuellement du signe pour l’identité). On fixe, dans un métalangage adéquat comme dans tout ce qui suit, des règles de formation (récursives) définissant l’ensemble des formules « bien formées ». Cela constitue la « syntaxe » du langage en question. Puis vient l’aspect sémantique : on « interprète » ces formules « bien formées » dans un domaine d’objets (dont la « nature » est laissée indéterminée) D : pour cela, on fixe une interprétation des variables d’individu (chaque variable étant interprétée par un objet de D) et des lettres de prédicat (chaque lettre de prédicat à n places d’argument étant interprétée par un ensemble de n-uplets d’objets de D, c’est l’aspect « extensionnaliste » de la logique contemporaine), ce qui permet de déterminer directement si une formule élémentaire et vraie ou non pour ces interprétations. Puis on donne les règles récursives (dues pour l’essentiel à Tarski) permettant de déterminer si une formule donnée est vraie dans D pour ces interprétations. Bien entendu, domaines et interprétations peuvent être variés à volonté. Une formule est dite alors « universellement valide » si et seulement si elle est vraie dans tout domaine pour toutes les interprétations, dans chacun de ces domaines, des variables d’individu et des lettres de prédicat. Cela étant, le travail du logicien consiste à établir, toujours dans le même métalangage, quelles sont les formules « universellement valides » censées représenter des « vérités logiques ».

Frege avait une tout autre conception de la logique qui tient tout d’abord au fait qu’il avait pour objectif, non pas de faire une étude systématique des « lois logiques » (se transformant aisément en règles d’inférence), mais de disposer des seules règles d’inférence nécessaires pour mener à bien la déduction des lois fondamentales de l’arithmétique. Comme on l’a vu, cette entreprise est conçue par lui sur le modèle classique euclidien, à savoir : à partir d’axiomes (en l’occurrence logiques) vrais et de définitions « nominales » des notions fondamentales de l’arithmétique (dont on a vu quelques exemples ci-dessus), déduire des théorèmes vrais, à l’aide des règles d’inférence censées transmettre « mécaniquement » la vérité des axiomes. Sa Begriffsschrift, étant à la fois un calculus ratiocinator et une lingua characteristica, devait permettre d’assurer la parfaite rigueur des déductions des vérités arithmétiques, dépassant sur ce point la construction euclidienne (dont on sait qu’elle souffre de ne pas expliciter tous ses axiomes).

Nous soulignons « vrai » car c’est là le point de divergence fondamentale avec l’approche contemporaine. Les propositions de la Begriffsschrift que l’on trouve dans les Grundgesetze ne peuvent être admises comme vraies simpliciter que parce que les symboles dont elles sont constituées ont ce que Frege appelle une « référence » (Bedeutung) univoquement déterminée et fixée une fois pour toute dans le cours des déductions. L’idée que l’on puisse interpréter de diverses façons un même symbole est donc pour Frege totalement absurde puisque si un symbole n’a pas une référence déterminée, il n’a pas de référence du tout. La proposition en laquelle il figure n’a donc pas de valeur de vérité et n’a rien à faire dans la science. A l’époque de Frege, c’est Hilbert, dans son axiomatisation de la géométrie (1899), qui avait introduit l’idée que l’on pouvait interpréter diversement les mêmes symboles : les termes qui figuraient dans ses axiomes, comme ceux de « points », « droite », « plan », « être entre » etc. n’étaient pas censés avoir leur signification intuitive habituelle, indépendante des axiomes eux-mêmes. C’était aux axiomes de leur conférer leur « signification » (« définition implicite », voir l’entrée « Définition », § 11. a), ce qui voulait dire seulement que toutes les notions (intuitives ou non) satisfaisant les axiomes pouvaient être admises comme étant des interprétations possibles de ces termes. C’est ainsi que Hilbert démontrait la consistance (relative) de ses axiomes en interprétant les termes (d’apparence géométrique) qui y figuraient, dans une portion de l’arithmétique supposée consistante. Cette manière d’aborder l’axiomatisation, en rupture complète avec le modèle euclidien, était inadmissible pour Frege qui la critiqua vivement dans plusieurs articles publiés au début des années 1900. Sur ce point l’histoire donna tort à Frege.

Il nous faut donc esquisser la théorie de la signification de Frege et ce qu’il a à dire de la vérité ; ce qui nous permettra d’entendre ce qu’il veut dire lorsqu’il définit la logique comme ayant pour objet les « lois de l’être vrai » (Gesetze des Wahrseins).

a. Signe, sens et référence

Une proposition de base frégéenne est un signe complexe composé de deux types de signes : un ou des noms propres et un nom de fonction (concept ou relation). Dans le célèbre article « Über Sinn und Bedeutung » (1892), Frege développait la thèse que les noms propres tout comme les propositions expriment un sens et désignent une référence ; dans d’autres écrits de la même époque, il étend cette même thèse aux noms de fonction et donc en particulier aux termes conceptuels et relationnels.

i. Sens d’un nom propre

S’agissant des noms propres, il s’agissait officiellement de faire face à la difficulté présentée par l’identité (nous simplifions) : soit une identité vraie de la forme a = b signifie que l’objet nommé par a est identique à celui nommé par b et, en vertu du principe leibnizien de la substituabilité des identiques, cela revient à a = a, ce qui n’a aucune valeur de connaissance. Soit cela signifie que le même objet a reçu deux noms différents et l’identité ne porte donc que sur une convention linguistique arbitraire et contingente, qui n’apporte là non plus aucune connaissance sur les objets eux-mêmes. Or, une identité a très souvent une valeur de connaissance : lorsque nous affirmons que Stendhal est (identique à) l’auteur de Le Rouge et le Noir, nous donnons une information à quelqu’un qui ne le saurait pas. La solution frégéenne consiste à dire qu’à ces noms propres et descriptions définies (traités comme des noms propres) sont attachées deux « manières de donner » (Art des Gegebenseins) l’objet Henri Beyle. C’est cette « manière de donner » l’objet que Frege appelle le sens d’un nom propre. On dira donc qu’un nom exprime son sens et désigne sa référence (« donnée » par son sens) qui n’est autre que l’objet nommé. Cela n’implique pas que tout nom ait une référence : le nom « Pégase » a certainement un sens, mais il est très peu probable qu’il ait une référence. C’est le cas en général des noms figurant dans les mythes, fictions, etc. Notons que la thèse que les noms propres ont un sens et pas seulement une référence, avait été récusée par un auteur comme J. S. Mill, dont le Système de logique déductive et inductive était très lu dans la seconde moitié du XIXème.

ii. Référence d’une proposition

Pour les propositions, la situation est inverse : on admet facilement qu’une proposition a un sens (que Frege appelle « pensée », en un sens non-psychologique, cf. plus bas), mais quant à son éventuelle référence les choses sont plus délicates. Frege soutient qu’une proposition, dès lors qu’il est question de sa vérité ou sa fausseté, a pour référence ce qu’il appelle, à la suite de Lotze, une « valeur de vérité » et fonctionne donc comme un nom propre d’une des deux valeurs de vérité, le Vrai ou le Faux ; ce qui conduit à la thèse extrêmement controversée, que le Vrai et le Faux sont des objets.

L’argumentation (en simplifiant) est la suivante. Admettons qu’une proposition exprime une pensée. Il se peut que l’on ne prenne en considération que cette pensée, sans se préoccuper de sa vérité ou de sa fausseté, comme c’est le cas dans la fiction. Cela tient au fait qu’un nom propre figurant dans cette proposition est supposé ne pas avoir de référence, comme dans « Ulysse fut déposé sur le sol d’Ithaque » (exemple de Frege). Dans ce cas, la question de la vérité ou de la fausseté de la proposition ne se pose pas. Supposons maintenant qu’un archéologue soit convaincu que l’Odyssée raconte ce qui est arrivé à un personnage réel appelé « Ulysse ». Il tient donc « Ulysse » pour un nom ayant une référence et ne se contente plus de la seule pensée car il considère alors qu’il lui faut déterminer si la proposition « Ulysse fut déposé sur le sol d’Ithaque » est vraie ou fausse. Inversement s’il se préoccupe de la vérité ou de la fausseté de cette proposition, c’est qu’il admet que « Ulysse » a une référence. Puisque donc la question de la valeur de vérité d’une proposition ne se pose que si l’on admet que ses constituants ont une référence (pour les termes conceptuels et relationnels, voir plus bas), c’est cette valeur de vérité qui constitue la référence de la proposition. Tout comme le sens d’un nom propre est une manière de « donner » l’objet, la pensée est une manière de « donner » une valeur de vérité, autrement dit elle enferme ses conditions de vérité.

Cette conclusion peut sembler étrange : pourquoi ne pas dire simplement que la proposition (la pensée) a pour propriété d’être vraie (ou fausse), sans faire de cette propriété une référence de la proposition? La réponse frégéenne est double, négative et positive : être vrai n’est pas une propriété des pensées ; le Vrai (le Faux) est un objet.

1. a. Un premier argument est que lorsque l’on attribue une propriété à quelque chose, la propriété en question contribue de manière essentielle au sens de la proposition : «  Pierre a offert une fleur à Mathilde » n’a pas le même sens que « Pierre a offert une fleur empoisonnée à Mathilde ». Or si l’on affirme que la pensée que César a vaincu Pompée à Pharsale est vraie, on n’affirme rien de plus que lorsque l’on affirme simplement que César a vaincu Pompée à Pharsale ; les deux formulations ont le même sens, et donc le « …est vraie » de la première n’ajoute rien à la simple affirmation de la proposition (théorie de la « vérité redondance », cf. l’entrée « Vérité », § 3). « Etre vrai (faux) » n’est donc pas une propriété, et Frege soutient que c’est la « force affirmative » avec laquelle on énonce une proposition qui fait passer de la simple considération de la pensée exprimée, à la vérité (ce qui n’exclut évidemment pas que l’on puisse se tromper et affirmer inconsidérément une proposition fausse). Ainsi un acteur de théâtre peut « affirmer » ce qu’il veut sur les planches, ou même dire que ce qu’il affirme est vrai, cela ne confère pourtant pas à son énonciation la force affirmative qui ferait passer de la pensée au Vrai. Dans la Begriffsschrift, la « force affirmative » est symbolisée par le signe «  » précédant les propositions démontrées.

1. b. Un deuxième argument, est que lorsque l’on attribue une propriété à quelque chose, il faut déterminer s’il est vrai que ce quelque chose possède effectivement cette propriété ; donc, ici, si la vérité était une propriété d’une pensée, il faudrait déterminer s’il est vrai que la pensée qu’Ulysse fut déposé sur le sol d’Ithaque est vraie (possède la propriété d’être vraie). Il faudrait maintenant déterminer de nouveau s’il est vrai qu’il est vrai que la pensée qu’Ulysse fut déposé sur le sol d’Ithaque est vraie, etc. Cela conduit donc à une régression ad infinitum. Il est facile de voir que le même embarras apparaîtrait si à la place de « est vrai (ou faux) » on tentait de mettre une « définition » de la vérité, par exemple : « correspond à la réalité ». Frege en conclut, non seulement que être vrai n’est pas une propriété, mais que « la vérité est à l’évidence quelque chose de si primitif et de si simple que la ramener à quelque chose d’encore plus simple n’est pas possible (« Logik », N. S. p. 140). »  ; bref, la vérité est indéfinissable. Pour échapper à cet argument, il faudrait admettre que « est vrai » n’appartient pas au langage mais à un métalangage, ce que Frege ne pouvait admettre.

2. La vérité est un objet ; pourquoi? Un concept (de premier niveau) est une fonction qui prend pour valeur le Vrai ou le Faux pour tout objet pris comme argument. Mais alors, de la même manière qu’une fonction arithmétique prend pour valeur un nombre (objet) pour un ou des nombres (objets) pris comme arguments, la valeur que prend un concept pour un objet pris comme argument est elle-même un objet ; on doit donc considérer les valeurs de vérité comme des objets. De plus, lorsque, dans un nom de fonction arithmétique, comme « 2 », on met un nom de nombre en place d’argument, « 5 » par exemple, on obtient « 25 » qui est à son tour un nom (de 32). On est donc conduit à admettre qu’une proposition (scientifique), toujours formée d’un terme conceptuel ou relationnel dont la ou les places vides sont occupées par des noms, est elle-même un nom (d’une valeur de vérité). Notons que si cela peut sembler très curieux, c’est cependant exactement ainsi que la logique contemporaine traite les valeurs de vérité : un connecteur propositionnel binaire, par exemple, est une « fonction de vérité » qui va de l’ensemble {V, F}  {V, F} dans {V, F}, tout comme l’addition (définie sur les entiers) va de N N dans N.

iii. Référence d’un terme conceptuel (relationnel)

Il reste à examiner ce qu’il en est des termes conceptuels ou relationnels et plus généralement des noms de fonction. Tout ce qui précède repose en fin de compte sur l’idée qu’une proposition n’a de référence (est vraie ou fausse) que si ses constituants (jusqu’à présent, les noms propres) ont eux-mêmes une référence. Cela vaut également pour les termes conceptuels ou relationnels. Une proposition exprime la subsomption d’un objet sous un concept, ou la relation qu’entretiennent deux ou plus de deux objets. Si donc elle est vraie ou fausse, ce ne peut être que parce que le concept ou la relation s’applique à des objets, référence des noms qui figurent en elle et cela n’est possible que si ledit concept ou ladite relation se situe dans le domaine de la référence. Plus simplement : de même qu’une propriété ne peut être attribuée véridiquement ou faussement qu’à un objet (référence, et non sens, d’un nom), un objet ne peut avoir qu’une propriété appartenant elle-même au domaine de la référence : « Lorsque nous disons “Jupiter est plus grosse que Mars”, de quoi parlons nous ? Des corps célestes eux-mêmes, des références des noms propres “Jupiter” et “Mars”. Nous disons qu’ils entretiennent une certaine relation, et nous le faisons avec les mots “est plus grosse que”. Cette relation se tient entre les références des noms propres ; elle doit donc elle-même appartenir au domaine de la référence. En conséquence, on doit reconnaître la partie de la proposition “est plus grosse que” comme étant référentielle [als bedeutungsvoll] et pas seulement comme étant signifiante [als sinnvoll]. (« Einleitung. . . », N. S., p. 209-210) ».

De là il résulte qu’un concept (relation), référence d’un terme conceptuel (relationnel), est, tout comme ce dernier, « insaturé ». Frege refuse donc de voir dans l’extension d’un concept la référence du concept dont elle est l’extension, puisqu’une extension est un objet (indépendant) qui ne peut être la référence que d’un nom propre, pas d’un terme conceptuel.

De même qu’un nom ou une proposition, un concept peut avoir un sens, mais pas de référence : c’est le cas, des concepts dont les limites sont floues et, outre les « concepts » entrant dans les sorites des anciens, Frege donne comme exemple le concept de la fleur « moly » () qu’Hermès donne à Ulysse pour affronter Circé après qu’elle eut transformé ses compagnons en pourceaux. Non pas qu’aucun objet ne tombe sous ce concept, ce qui n’affecte en rien sa « stricte délimitation », mais parce que les caractères de ce concept (racine noire et fleur blanche) ne permettent pas de déterminer pour tout objet s’il tombe ou non sous lui (cf. « Ausführungen… », N. S. p. 133). Autrement dit, seul un concept (relation) strictement délimité a une référence et une proposition qui contiendrait un terme conceptuel (ou relationnel) aux limites floues ne serait ni vraie ni fausse, i. e. n’aurait pas de référence.

iv. Quelques conséquences de la distinction entre sens et référence

Pour terminer, indiquons quelques conséquences de la distinction du sens et de la référence. Une proposition ne peut avoir pour référence, si elle en a une, que le Vrai ou le Faux ; en conséquence toutes les propositions vraies sont co-référentielles ainsi que toutes les propositions fausses, ce qui ne veut pas dire, évidemment, qu’elles ont le même sens (expriment la même pensée). Cette thèse fut controversée mais A. Church montra par un argument convaincant (que nous ne pouvons détailler ici) qu’elle était parfaitement raisonnable. Par ailleurs, une pensée est fonction du sens des constituants de la proposition qui l’exprime, nom et terme conceptuel ou relationnel ; c’est ce que l’on a appelé le principe de compositionnalité du sens propositionnel. Par contre, la référence d’une proposition n’est pas composée, puisqu’il s’agit d’un objet, le Vrai ou le Faux (cf. « Aufzeichnungen für L. Darmstaedter », N. S., p. 275-276). Enfin, la distinction entre sens et référence permet, aux yeux de Frege, qui en tire argument en sa faveur, de rendre compte du discours indirect : lorsque l’on rapporte ce que pense, croit, suppose etc. quelqu’un, comme dans « Voltaire pensait que l’homme au masque de fer était un frère jumeau de Louis XIV », la référence de la subordonnée « l’homme au masque de fer était un frère jumeau de Louis XIV » n’est pas sa référence habituelle (ici, sans doute le Faux) mais son sens ; ce dont témoigne le fait que la valeur de vérité de la proposition entière ne dépend pas de celle de la subordonnée. Autrement dit, de tels contextes ne sont pas « extensionnels ».

Comme on va le voir, Frege excluait de la logique ce qui relève du sens. Toutefois, à la suite du renouvellement de la logique modale dans les années vingt-trente, des logiciens, à commencer par Church et Carnap, s’employèrent à développer une « logique du sens ». Puis, dans les années soixante, la construction de la sémantique des mondes possibles (Hintikka, Kripke, mais cette sémantique avait été anticipée par Carnap), permit de traiter de manière formellement assez satisfaisante cette dimension sémantique des expressions et de développer des logiques « intensionnelles »: logique déontique, doxastique, épistémique, etc.

b. Logique, vérité et domaine de la référence

Dans un texte probablement antérieur à la Begriffsschrift de 1879, Frege écrivait : « la logique commence seulement avec la conviction qu’il y a une différence entre le vrai et le non-vrai (« Kernsätze… », N. S., p. 190) ». A la lumière de la distinction entre signe, sens et référence, et de la thèse que la référence des propositions (scientifiques) est une valeur de vérité, cette affirmation devient : « …les lois de la logique sont en premier lieu des lois dans le domaine de la référence et ne se rapportent au sens qu’indirectement (« Ausfürungen… », N. S., p. 133) ». Dans le sens d’une proposition, est contenue sa valeur de connaissance : les connaissances qu’apportent les diverses sciences portent sur des objets, concepts ou relations particuliers : le concept de masse, la relation entre espace parcouru, accélération et temps dans la chute d’un corps dans le vide, etc. De cela, la logique n’a cure : elle porte, en toute généralité sur ce qui constitue, quel que soit leur sens, toute proposition – concept, relation et objet – ainsi que sur les liaisons entre propositions qui ne dépendent que de leur vérité ou fausseté. Elle est donc la science la plus générale qui gouverne l’ensemble du pensable, isomorphe à celui de l’exprimable (cf. « Logik in der Mathematik », N. S., p. 224, mais exprimé de préférence dans une Begriffsschrift). Elle en établit, dans un système axiomatisé « à la Euclide », les lois – « lois de l’être vrai » – tout comme les sciences particulières établissent (souvent inductivement) les lois qui valent dans leur domaine respectif. Ainsi les lois de la logique sont-elles vraies simpliciter (ont pour référence le Vrai), ce qui suppose que les « concepts et relations logiques » (négation, implication, identité, subsomption d’un objet sous un concept, etc.) ont eux-mêmes une référence déterminée. A la distinction traditionnelle entre forme et contenu, Frege substitue celle entre référence et sens et cela a pour conséquence que la logique n’est pas « formelle » (cf. « Über die Grundlagen der Geometrie » (1906), K. S., p. 322). Elle a un contenu, même si celui-ci est de la plus extrême généralité. On voit alors immédiatement pourquoi Frege ne pouvait que rejeter la conception hilbertienne de l’axiomatisation et n’aurait pu adhérer à la manière contemporaine, esquissée ci-dessus, de « faire » de la logique.

Cela étant, en admettant que les lois logiques sont des « lois dans le domaine de la référence », Frege adoptait un point de vue résolument « extensionnaliste ». Même s’il refuse de voir dans l’extension d’un concept la référence du terme conceptuel correspondant, il n’en reste pas moins qu’en vertu de la malheureuse loi V des Grundgesetze, la distinction, dans le domaine de la référence, entre un concept et son extension, s’estompe suffisamment pour que le puisse toujours substituer à un concept (une relation), son extension. L’extensionnalisme de Frege va même au delà de celui que soutenaient certains logiciens classiques pour qui la justification des syllogismes reposait sur les relations entre les extensions des termes généraux spécifiées dans les prémisses des syllogismes. On peut en effet considérer que l’extension d’une proposition est sa référence, à savoir sa valeur de vérité, et que celle d’un nom propre ou d’une description définie, est là encore sa référence, à savoir l’objet qu’il, ou elle, désigne. Or c’est de ces références seulement que s’occupe la logique. Sur ce point, la logique standard contemporaine est restée globalement fidèle à Frege.

9. Controverses et problèmes.

Frege a développé sa conception de la logique (et de l’arithmétique) en opposition à deux tendances plus ou moins en vogue à son époque : le psychologisme (en logique) et le formalisme (en mathématique).

a. Anti-psychologisme et anti-formalisme

Le logicien psychologue étudie comment les hommes, ou la plupart d’entre eux, combinent des représentations (Vorstellugen) pour former des jugements, puis des raisonnements ; ces représentations sont subjectives. Les lois logiques ne sont alors que des « lois du tenir pour vrai » (Gesetze des Fürwharhaltens) qui ne valent qu’à proportion du fait que l’on constate, ou croit constater, qu’en moyenne les hommes pensent en se réglant sur elles ; elles ont ainsi un statut comparable à celui des règles que les grammairiens établissent à propos des langages qu’ils étudient (empiriquement) et qui ne valent donc que pour ces langages donnés historiquement. On ne peut donc exclure que des hommes se règlent sur d’autres « lois » logiques pour conduire leurs inférences, ou même sur aucune loi.

Le mathématicien « formaliste », quant à lui, cherche éviter les embarras philosophiques que suscite la question de la « nature » des nombres (exemple paradigmatique). Pour ce faire, il considère que ce ne sont que des marques graphiques, dont la « réalité » ne lui semble pas problématique. Les expressions numériques et les signes pour les opérations arithmétiques ne sont donc signes de rien et le mathématicien se limite à les manipuler conformément à des règles posées arbitrairement, tout comme aux échecs les pièces sont manipulées conformément aux règles du jeux (comparaison classique). Il suffit que les règles posées ne conduisent pas à des contradictions, c’est à dire qu’il n’y ait pas de conflit entre elles.

Contre les premiers, Frege fait valoir, dans une veine très kantienne (cf. par exemple, sa Logique (Jäsche), p. 12), qu’une loi logique « prescrit comment on doit juger quel que soit le lieu, le moment, et celui qui juge (Gg. I, p. xvii)  ». Les lois logiques sont, dit-on, des « lois de la pensée », mais il faut entendre ici « loi » en un sens normatif, pas factuel, sans quoi il serait impossible de déterminer qui a raison, de celui qui affirme, par exemple, que toute chose est identique à elle-même et de celui qui le nie, et aucune justification ne pourrait plus être donnée d’une opinion quelconque. Il y a plus : en s’enquérant des « lois » qui régissent le jeu des représentations, le logicien psychologue est immanquablement conduit à une forme de solipsisme puisque toute représentation est subjective et privée, et qu’il n’y a aucune manière de s’assurer que les représentations de Gottlob s’accordent avec celles de Rudolf.

Contre la « dénaturation de la logique » par la psychologie, Frege soutient la thèse de la radicale objectivité du Vrai : une proposition (ou plutôt une pensée, quelle que soit sa formulation dans un langage donnée, le théorème de Pythagore par exemple) est vraie (ou fausse) « éternellement » indépendamment du fait qu’elle est reconnue comme telle, et, puisqu’une pensée exprime les conditions de sa vérité, cela vaut également de son sens (pensée) ainsi que de celui de ses constituants. Une « pensée » frégéenne n’est donc en rien subjective, elle ne peut qu’être « saisie » (expression privilégiée par Frege), et cela présuppose qu’elle soit déjà là, vraie ou fausse, avant d’être saisie et indépendamment du fait de l’être. Et si l’on reconnaît qu’une pensée est vraie, alors « il est très probable qu’il y aura également des lois de l’être vrai et s’il y en a, elles doivent être la norme du “tenir pour vrai”. Et ce sont les lois logiques proprement dites (« Logik », N. S. p. 158) ».

Contre les seconds, Frege montre, pour en nous en tenir à sa conclusion principale, qu’ils ne peuvent être fidèles à leur thèse : loin de ne traiter les expressions numériques et les écritures comme « = », « + », etc., que comme des marques graphiques, ils réintroduisent subrepticement des considérations qui ne valent que si l’on suppose que ces marques graphiques sont des signes ayant leur référence ordinaire dans l’arithmétique habituelle : « …l’arithmétique formelle a besoin du sens que ses objets ont dans l’arithmétique contentuelle (inhaltlich). Elle est comparable à une plante grimpante qui s’enlace autour de l’arithmétique contentuelle et qui perd pied lorsqu’on lui retire son support et la source de sa nourriture.  L’arithmétique formelle présuppose donc l’arithmétique contentuelle (« Die Unmöglichkeit der Thomaeschen Arithmetik » K. S. , p. 332). »

La question de la non-contradiction touche directement un des points sur lesquels des auteurs de diverses tendances s’accordaient et elle prit une grande importance à partir des années vingt-trente. La question est double : d’une part, suffit-il que la définition d’un concept soit non-contradictoire pour que l’on soit en droit d’admettre qu’il n’est pas vide (Poincaré, Hilbert)? D’autre part, peut-on démontrer qu’un système d’axiomes est non-contradictoire (Hilbert)? A ces deux questions, Frege répond par la négative. Pour ce qui est de la première, la thèse de Frege est que la non-contradiction d’un concept garantit seulement qu’il pourrait ne pas être vide, mais certainement pas qu’il n’est pas vide. En réalité, la seule manière de s’assurer qu’un concept est non-contradictoire, est de montrer qu’un objet tombe sous lui, faute de quoi rien ne garantit qu’un concept que l’on estime non-contradictoire ne se révélera pas contradictoire dans le futur (Gl. § 94-95, lettre à Hilbert du 6 juin 1900, Bw. p. 75). Il en va de même pour la seconde question : la seule manière de s’assurer qu’un système d’axiomes est non-contradictoire est, en termes modernes, d’exhiber un modèle qui le satisfasse (cf. id., p. 70-71). Il y a plus : dans la perspective hilbertienne, l’importance accordée à la non-contradiction tient au fait que c’est la seule exigence que doit satisfaire un système d’axiomes, puisque ces derniers ne sont pas censés être vrais par eux-mêmes et que les termes qui y figurent ne reçoivent leur « signification » que des axiomes. D’où cette affirmation de Hilbert : « Si les axiomes posés arbitrairement ne se contredisent pas, ils sont vrais, [et] les choses définies par les axiomes existent (lettre à Frege du 29 décembre 1899, Bw. p. 68). » Pour Frege cela est inadmissible : les axiomes (de la géométrie euclidienne, par exemple) sont vrais simpliciter et c’est pourquoi ils forment un système non-contradictoire ; et cela suppose évidemment que les termes qui entrent dans les axiomes aient eux-mêmes une référence.

Psychologisme et formalisme sont deux doctrines fort différentes, mais elles ont un point commun : chercher à s’en tenir à ce qui est « réel » (wirklich), que ce soit des processus psychologiques ou des marques graphiques. Dans le premier cas, on tombe dans le subjectivisme, dans le second dans l’insignifiant. Contre ce tropisme, Frege défend la thèse qu’il y a de l’objectif non-réel, à commencer par le « sens » aussi bien des propositions que des noms ou des termes conceptuels et relationnels, sens qui est susceptible d’être « saisi » identiquement par tous. A la fin de sa vie, Frege dira de ce qui est objectif mais pas réel qu’il constitue un « troisième règne » (dritte Reich), entre le subjectif et le réel (« Der Gedanke », K. S., p. 353). Frege a consacré de nombreuses pages à tenter de justifier cette thèse (surtout contre le psychologisme, conduisant à une forme de relativisme). Pour l’essentiel, il développe une argumentation de type « transcendantal » : si nous n’admettions pas cette objectivité du sens (mais également des entités mathématiques, à commencer par les nombres) nous ne pourrions ni nous entendre, ni, a fortiori, chercher à justifier la vérité de quoi que ce soit, puisque chacun aurait sa propre « vérité ». Et donc la logique elle-même n’aurait plus lieu d’être.

b. La question du « platonisme » de Frege

On a vu dans cette position une forme de « platonisme » au sens que ce terme a pour caractériser une certaine philosophie des mathématiques affirmant que les mathématiques explorent un univers d’entités abstraites, hors du domaine de l’empirie, et à propos desquelles elles établissent des théorèmes dont la vérité est indépendante du fait d’être établie d’une manière ou d’une autre. Parmi tous les arguments avancés contre cette thèse « platonicienne », il est intéressant de considérer celui qu’a développé P. Benacerraf, argument que l’on peut résumer très sommairement comme suit : en raison de leur statut même (hors du temps et de l’espace), nous ne pouvons entretenir aucune relation avec les entités « platoniciennes » ; or à défaut d’entretenir une relation quelconque (éventuellement causale) avec les entités (objets et concepts ou relations) à propos desquelles une proposition énonce quelque chose, nous ne pouvons nous assurer de la vérité (ou de la fausseté) de cette proposition, ergo il est incompréhensible que nous puissions connaître des vérités sur ces entités abstraites. Cet argument repose donc sur la supposée nécessité de concilier le statut « éthéré » des entités « platoniciennes », avec la possibilité d’en connaître quelque chose.

Frege, qui avait déjà aperçu une difficulté semblable à propos de la « saisie » des « pensées » (mais cela vaut également du sens de leurs constituants), récuse précisément cette supposée nécessité : « Mais la saisie de cette loi [la loi de gravitation] est bien un processus psychique! Oui, mais un processus qui se situe à la limite du psychique et qui, de ce fait, ne peut être pleinement compris d’un point de vue purement psychologique, parce que quelque chose d’essentiel entre ici en ligne de compte qui n’est plus, au sens propre, psychique : la pensée. Et ce processus est peut-être le plus mystérieux qui soit. […] Il nous suffit de pouvoir saisir une pensée et de la reconnaître pour vraie ; comment cela s’effectue, est une question à part. Il suffit bien également au chimiste de pouvoir voir, sentir et gouter ; et sa tâche n’est pas de rechercher comment cela s’effectue. […] Nous ne préoccuperons donc pas de savoir comment réellement nous pensons, [comment réellement nous] en arrivons à des convictions. Ce n’est pas le “tenir pour vrai” qui nous importe mais les lois de l’être vrai (« Logik », N. S., p. 157). »

Il faut souligner toutefois, que cette thèse d’allure « platonicienne », si forte qu’elle paraisse, n’est pas « ontologique » : du point de vue de Frege, il ne s’agit que d’une exigence portée par la possibilité, admise comme un fait, de pouvoir utiliser le langage à fin de communication, discussion et argumentation et cela repose ultimement sur  le fait « qu’il existe une différence entre le vrai et le non-vrai » (cf. plus haut).

Conclusion

L’œuvre de Frege peut sembler se limiter à chercher à montrer que l’arithmétique n’est qu’une branche de la logique. Toutefois, on l’a vu, cela le conduisit bien au delà : à refonder entièrement la logique et en particulier à avancer une conception entièrement originale du concept (et des relations) ;  à développer une théorie de la signification s’articulant autour de deux principes : le primat de la proposition sur ses constituants et la distinction du sens et de la référence ; à distinguer rigoureusement le logique et l’épistémologique, ce qu’exprime par excellence son anti-psychologisme, etc.

Par certains aspects, ses doctrines apparaissent comme « réactionnaires » : son attachement au modèle euclidien (et à la géométrie euclidienne), son refus de reconnaître l’originalité et la fécondité de la conception hilbertienne de l’axiomatisation, en sont de bons exemples. Il reste que son œuvre a profondément influencé des philosophes aussi importants que Russell, Wittgenstein ou Carnap, et que par sa rigueur et par les nouveautés qu’elle introduit, elle ne cesse depuis plus d’un demi-siècle de susciter discussions et commentaires (mais assez peu en France, malheureusement). On a même pu la considérer comme étant en partie à l’origine de ce que l’on appelle le « tournant linguistique » de la philosophie analytique (cf. M. Dummett, Les origines… ).

On peut estimer, sans trop de risque de se tromper, que l’on n’a pas fini d’en tirer toutes les conséquences philosophiques.

Bibliographie

a. Œuvres de Frege

Remarque : les traductions de tous les textes de Frege cités sont de notre fait. Nous donnons entre parenthèses les abréviations des titres des ouvrages utilisées dans le texte.

– Begriffsschrift und andere Aufsätze (I. Angelelli, éd.), Hildesheim, G. Olms, 1964, xvi-124 p. (Bs.)

– Die Grundlagen der Arithmetik, Oxford, B. Blackwell, 1968, xii-112 p. (édition bilingue allemand-anglais, trad. anglaise de J. Austin). Traduction française par Cl. Imbert : Les fondements de l’arithmétique, Paris, Le Seuil, 1969, 233 p. (Gl.).

– Grundgesetze der Arithmetik (vol. I et II regroupés en un seul volume), Hildesheim, G. Olms, 1966, xxxii-254 p., xv-266 p. (Gg.).

– Kleine Schriften (I. Angelelli, éd.), Hildesheim, G. Olms, 1967, viii-434 p. (K. S.).

Il existe une traduction française (par Cl. Imbert) de certains des écrits les plus importants de Frege : Ecrits logiques et philosophiques, Paris, Le Seuil, 1971, 234 p.

– Nachgelassene Schriften (H. Hermes, F. Kambartel, F. Kaulbach, éds.), Hambourg, F. Meiner, 1969, xli-322 p. (N. S.).

– Wissenschaftlicher Briefwechsel (G. Grabriel, H. Hermes, F. Kambartel, Ch. Thiel, A. Veraart, éds.), Hambourg, F. Meiner, 1976, xxvi-310 p. (Bw.).

– « Tagebuch (10 mars 1924- 9 mai 1924) » (G. Gabriel, W. Kienzler, éd.) in Deutsche Zeitschrift für Philosophie, 1994, vol 42, n° 6, p. 1057-1098.

– « Frege’s Begriffsschrift Lectures » (G. Gabriel, éd.), in History and Philosophy of Logic, 1996, vol. 17, n°1, p. 1-41. [notes de cours prises par Carnap entre 1910 et 1914 ; l’édition en anglais (Frege’s Lectures on Logic, Chicago, Open Court, 2004, xiv-170 p.) est plus complète que cette première édition allemande].

b. Ouvrages, recueils d’articles et articles sur Frege

– Angelelli, I. Studies on Gottlob Frege and Traditional Philosophy, Dordrecht, D. Reidel, 1967, xiv-291 p. (trad. française : Etudes sur Frege et la philosophie traditionnelle, Paris, Vrin, 2007, 365 p. Cet ouvrage souffre de ne prendre en compte ni les posthumes ni la correspondance, non publiés lors de sa rédaction).

– Anscombe, G. E. M. & Geach, P., Three Philosophers, Oxford, B. Blackwell, 1961, 162 p.

– Beaney, M. & Reck, E. (éds.), Gottlob Frege: Critical Asssessments, Londres, Routledge, 2005 (4 volumes).

– Belna, J-P, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege, Paris,Vrin, 2000, 376 p.

– Benmakhlouf, A., Gottlob Frege, Paris, P.U.F., 1997, 126 p.

– Boolos, G., Logic, Logic and Logic, Cambridge (E. U.), Harvard U. Press, 1998, ix-443 p.

– Burge, T., Truth, Thought, Reason: Essays on Frege, Oxford, Oxford U. Press, 2005, 432 p.

– Demopoulos, W. (éd.), Frege’s Philosophy of Mathematics, Cambridge (E. U.), Harvard U. Press, 1995, xi-464 p.

– Dummett, M., Frege, Philosophy of Language (2ème éd.), Londres, Duckworth, 1981, xliii-708 p.

– Dummett, M., The Interpretation of Frege’s Philosophy, Duckworth, 1981, xviii-621 p.

– Dummett, M., Frege, Philosophy of Mathematics, Londres, Duckworth, 1991, xiii-331 p.

– Dummett, M., Frege and other Philosophers, Oxford, Clarendon Press, 1991, xii-330 p.

– Dummett, M., Les origines de la philosophie analytique (trad. M-A. Lescourret), Paris, Gallimard, 1991, 232 p.

– Geach, P. T., « On Frege’s Way out », Mind, t. LXV, 1956, p. 408-409.

– Geach, P. T., « Names and Identity », in Guttenplan, S. (éd.), Mind and Language, Oxford, Clarendon Press, 1975, 158 p. (p. 139-158).

– Geach, P. T., « Saying and Showing in Frege and Wittgenstein », Acta Philosophica Fennica, vol. xxviii, 1976, p. 54-70.

– Hale, B. & Wright, C., The Reason’s Proper Study, Essays toward a Neo-fregean Philosophy of Mathematics, Oxford, Clarendon Press, 2001, xiv-455 p.

– Haaparanta, L. & Hintikka, J. (éds), Frege synthesized, Dordrecht, D. Reidel, 1986, vi-395 p.

– Heijenoort, J. van, « La logique comme calcul et la logique comme langage », in Epistémologie sociologique, n° 7, 1969, p. 63-69.

– Heck, R. G., Frege’s Theorem, Oxford, Clarendon Press, 2011, xiv-307 p.

– Heck, R. G., Reading Frege’s Grundgesetze, Oxford, Clarendon Press, 2012, xviii-296 p.

– Kreiser, L., Gottlob Frege : Leben, Werk, Zeit, Hambourg, F. Meiner, 2001, xii-646 p.

– Largeault, J., Logique et Philosophie chez Frege, Louvain, Ed. Nauwelaerts, 1970, xxvii-486 p. (même remarque que pour l’ouvrage d’I. Angelelli ci-dessus).

– Makin, G. The Metaphysicians of Meaning, Russell and Frege on sense and denotation, Londres, Routledge, 2000, 229 p.

– Parsons, C., « Frege’s Theory of Number », in Parsons, C., Mathematics in Philosophy, Ithaca, Cornell U. Press , 1983, 365 p. (p. 150-175).

– Potter, M. & Ricketts, T. (éds.), The Cambridge Companion to Frege, Cambridge, Cambridge U. Press, 2010, xi-639 p.

– Quine, W. van O., « On Frege’s Way out », Mind, t. LXIV, 1955, p. 145-159.

– Reck, E. H., From Frege to Wittgenstein, Oxford, Oxford U. Press, 2002, 470 p.

– Ricketts, Th., « Logic and Truth in Frege », Proceedings of the Aristotelician Society, Supplementary Volume lxx, 1996, p. 121-140.

– Russell, B., The Principles of Mathematics (2ème édition), New-York, Norton & Cie, 1943, xxxix-534 p.

– Sluga, H., Gottlob Frege, Londres, Routledge & Kegan Paul, 1980, xi-203 p.

– Thiel, C., Sinn und Bedeutung in der Logik Gottlob Freges, Meisenheim am Glan, 1965, 171 p.

– Weiner, J. (éd.), Frege in perspective, Ithaca, Cornell U. Press, 1990, xvii-307 p.

– Weiner, J., « Theory and Elucidation », in Floyd, J. & Shieh, S (éds), Future Past, Oxford, Oxford U. Press, 2001, 463 p. (p. 45-65).

– Wright, C., Frege’s Conception of Numbers as Objets, Aberdeen, Aberdeen U. Press, 1983, xxi-193 p.

c. Autres ouvrages cités

-Aristote, Catégories (trad. J. Tricot), Paris, Vrin, 1969 (ou toute autre édition…).

– Arnauld, A. & Nicole, P., La Logique ou l’art de penser, Paris, H. Champion, 2011 (ou toute autre édition…).

– Baumann, J., Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik in der neueren Philosophie, Berlin, G. Reimer, 1868 (t. I), xii-515 p., 1869 (t. II) viii-685 p.

– Benacerraf, P., « Mathematical Truth », in Philosophy of Mathematics (2ème éd., P. Benacerraf & H. Putnam, éds), Cambridge, Cambridge U. Press, 1983, viii-600 p. (p. 403-420).

– Friedman, M., Kant and the Exact Sciences, Cambridge (E.U.), Harvard U. Press, 1992, xvii-357 p.

– Kant, E., Critique de la Raison Pure (trad. J. Barni, revue et corrigée par J-L Delamarre et F. Marty), Paris, Gallimard, 1980 (ou toute autre édition…).

– E. Kant, Prolégomènes à toute métaphysique future… (trad. J. Rivelaygue), Paris, Gallimard, 1985 (ou toute autre édition…).

– Kant, E., Logique (Jäsche, trad. L. Guillermit), Paris, Vrin, 1966, 173 p.

– Mill, J. S., A system of logic, ratiocinative and inductive, I-III, vol VII des Collected Works of J. S. Mill, Toronto, U. of Toronto Press / Londres, Routledge & Kegan Paul, 1974, cxiv-638 p.

– Mill, J. S., An Examination of Sir William Hamilton’s Philosophy, vol. IX des Collected Works of J. S. Mill, Toronto, U. of Toronto Press / Londres, Routledge & Kegan Paul, 1979, cviii-625 p.

– Pierre d’Espagne, Tractatus (éd. L. M. De Rijk), Assen (Pays-Bas), Van Gorcum & Cie, 1972, cxxix-303 p.

– Quine, W. van O., From a logical point of view (2ème éd.), New-York, Harper Torchbooks, 1963, viii-184 p.

– Schultz, J., Erläuterungen über des Herren Professor Kant Kritik der reinen Vernunft, Francfort, 1791, 252 p.

– Wittgenstein, L., Tractatus Logico-Philosophicus (bilingue allemand-anglais, trad. anglaise de D. Pears et B. McGuinness), Londres, Routledge & K. Paul, 1961, xxi-166 p.


François Schmitz

Université de Nantes
francois.schmitz@univ-nantes.fr

Comment citer cet article?
Schmitz, F. (2019), « Frege », version académique, dans M. Kristanek (dir.), l’Encyclopédie philosophique, URL: http://encyclo-philo.fr/gottlob-frege-a/