La philosophie de A à Z

Une démonstration est la justification d’un énoncé théorique qui montre par une suite de raisonnements évidents que cet énoncé s’impose à quiconque accepte certains énoncés de base, généralement posés comme hors de doute.

On voit immédiatement que la notion de démonstration, une fois définie ainsi, soulève trois problèmes :

1. Que sont les « énoncés de base » sur lesquels on peut s’appuyer ?

2. Que sont les « raisonnements évidents » qui permettent de dériver un énoncé à partir des énoncés de base ?

3. Comment peut-on prétendre « justifier » un énoncé, si en dernière instance on se contente de reporter le problème sur d’autres énoncés ? En d’autres termes : tout ce qui est démontré est-il vrai ?


1. Les énoncés élémentaires

On ne démontre généralement pas un énoncé à partir de rien. Les seuls énoncés que l’on puisse démontrer sans aucune hypothèse sont des tautologies, c’est-à-dire des truismes. Tel est le cas, par exemple, des énoncés suivants :

  • « Si Dieu existe, alors Dieu existe » ;
  • « Il est faux de dire à la fois que Dieu existe et que Dieu n’existe pas ».

Tous ces énoncés relèvent du raisonnement pur ; ils sont vrais dans tous les cas de figure, et sont notamment indépendants du fait que Dieu existe ou qu’il n’existe pas ; on pourrait d’ailleurs impunément y remplacer « Dieu » par « le Père Noël » : les énoncés resteraient incontestables. Le prix à payer est qu’ils ne nous apprennent rien.

Il est rare que les énoncés que l’on cherche à démontrer soient purement logiques : en mathématiques on démontre des énoncés comme « la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits », en métaphysique on essaye de démontrer des énoncés comme « Dieu existe », etc. Ces énoncés supposent des hypothèses.

En mathématiques, dans la tradition d’Euclide (IVe-IIIe siècle), on pose les hypothèses suivantes :

  1. Des définitions, qui indiquent en quel sens seront employés les différents mots : « triangle », « angle droit », etc. ;
  2. Des axiomes, qui sont des vérités supposées évidentes, par exemple « deux choses égales à une même troisième sont égales entre elles » ;
  3. Des postulats, qui sont des vérités moins évidentes que les axiomes, mais nécessaires pour démontrer les énoncés mathématiques.

Une fois posés ces principes, les démonstrations mathématiques avancent de manière rigoureuse. En d’autres termes, quiconque accepte ces principes est contraint d’en accepter toutes les conclusions, car ces conclusions en sont tirées par une suite de raisonnements élémentaires, dont chacun pris isolément est si évident que l’on ne saurait le contester.

La méthode rigoureuse des mathématiques ne pouvait que susciter l’intérêt des philosophes. L’entreprise la plus aboutie d’imitation de la méthode mathématique en philosophie est celle de Spinoza (1632-1677), qui, dans l’Éthique, adopte la « méthode géométrique » : il définit les notions de « cause de soi », de « substance », d’« attribut », de « Dieu » etc. ; ensuite il pose des axiomes, par exemple « ce qui ne peut se concevoir en autre chose doit se concevoir par soi » ; enfin, il procède à la démonstration de propositions comme « deux substances possédant des attributs différents n’ont rien de commun entre elles », « une substance ne peut être produite par une autre substance », etc.


2. Les règles du raisonnement naturel

Une fois que l’on a posé ces principes, la question qui se pose ensuite est de savoir comment une démonstration peut prétendre en « dériver » un énoncé. Nous écrivions plus haut qu’il fallait formuler une suite de « raisonnements évidents » ; mais qu’est-ce qu’un raisonnement évident ?

Les raisonnements qui nous paraissent les plus évidents dans la vie de tous les jours poussent rarement la précision jusqu’à détailler toutes les étapes argumentatives. Par exemple, si quelqu’un dit « le chat a des mamelles, puisque c’est un mammifère », cet argument cache au moins une prémisse implicite, à savoir : « tous les mammifères ont des mamelles ». Pour que le raisonnement soit complet, il faudrait donc dire : « tous les mammifères ont des mamelles ; or le chat est un mammifère ; donc le chat a des mamelles ». Il est évident que personne ne peut parler ainsi dans la vie quotidienne sans faire le vide autour de soi. Mais dans des entreprises de recherche de connaissance comme les mathématiques ou la philosophie, il peut être utile de revenir à ces formes complètes pour pouvoir vérifier une par une toutes les étapes de la démonstration.

Pour cela, nous avons besoin d’un petit nombre de règles logiques. Si ces règles vous paraissent d’une pauvreté confondante, c’est qu’elles auront atteint leur but. Illustrons par des exemples les règles les plus couramment acceptées, celles de la logique classique :

  1. « En supposant qu’il fait beau [A], j’arrive à la conclusion qu’il fait chaud [B] ; donc s’il fait beau il fait chaud [si A alors B] »
  2. « S’il fait jour, alors il fait clair [si A alors B] ; or il fait jour [A] ; donc il fait clair [B] ».
  3. « Il fait beau [A] ; il fait chaud [B] ; donc il fait beau et il fait chaud [A et B] » ;
  4. « Il fait beau et il fait chaud [A et B] ; donc il fait beau [A] »
  5. « Il fait beau et il fait chaud [A et B] ; donc il fait chaud [B] »
  6. « Il fait beau [A] ; donc il fait beau ou le Père Noël existe [A ou B] » ;
  7. « Le Père Noël existe [B] ; donc il fait beau ou le Père Noël existe [A ou B] » ;
  8. « Vous prendrez le chemin de gauche ou vous prendrez le chemin de droite [A ou B] ; or si vous prenez le chemin de gauche, vous arriverez à Rome [si A alors C], et si vous prenez le chemin de droite, vous arriverez à Rome [si B alors C] ; donc vous arriverez à Rome [C] » ;
  9. « Supposons qu’il existe un nombre pair et premier plus grand que 2 [A] ; alors il serait divisible par 2 [B], puisqu’il est pair ; mais il ne serait pas divisible par 2 [négation de B], puisqu’il est premier ; il n’existe donc pas de nombre pair et premier plus grand que 2 [négation de A] » ;
  10. « Il est faux que le père Noël n’existe pas [négation de la négation de A] ; donc le Père Noël existe [A] ».

Il est également utile d’ajouter les règles suivantes, qui régissent l’emploi des expressions « il existe » et « quel que soit » :

  1. « Le Père Noël est barbu ; donc il existe un barbu » ;
  2. « Il existe un barbu ; or s’il existe un barbu (quel qu’il soit), les barbiers auront du travail ; donc les barbiers auront du travail » ;
  3. « Un nombre (quelconque) peut être multiplié par 2 ; donc tout nombre peut être multiplié par 2 » ;
  4. « Tout nombre peut être multiplié par 2 ; donc 0 peut être divisé par 2 ».

Certaines de ces règles, et quelques autres du même genre, ont été formulées par les stoïciens au IVe siècle avant notre ère. Un inventaire systématique en a été dressé par Gerhard Gentzen (1909-1945) sous le nom de « déduction naturelle ».

Si l’on entend par « démonstration complète » une démonstration dont l’auteur a explicité toutes les étapes, les règles ci-dessus permettent de vérifier par une suite d’étapes très simples qu’une démonstration est complète, même si cela demande généralement un temps considérable. L’intérêt est que l’on peut ainsi débusquer tous les sauts argumentatifs — c’est-à-dire les raisonnements implicites — et interdire tout recours à la rhétorique — c’est-à-dire la persuasion par les émotions plutôt par les seuls arguments.


3. Démonstration et vérité

Supposons que tous les principes d’une démonstration soient explicites et que nous puissions vérifier toutes les étapes du raisonnement. Peut-on en conclure que ce qui est démontré est vrai ?

Le problème est que toute démonstration — si elle ne relève pas de la pure logique — repose sur des hypothèses et que ces hypothèses, par définition, ne sont pas démontrées. Si elles sont fausses, les résultats qu’elles permettent de démontrer peuvent être faux, quelle que soit la rigueur de la démonstration.

Il faut donc déterminer avec soin comment choisir les hypothèses, c’est-à-dire typiquement les définitions, axiomes et postulats. Blaise Pascal (1623-1662) pose ce problème dans son texte « De l’esprit géométrique et de l’art de persuader ». Il voit à l’œuvre dans les mathématiques une méthode exemplaire de recherche de la vérité, celle qui consiste « à tout définir et à tout prouver », mais c’est pour reconnaître aussitôt : « cette méthode serait belle, mais elle est impossible ». En effet, à vouloir tout définir on risque la régression à l’infini ou la circularité.

Il suffit, pour s’en apercevoir, de prendre un mot quelconque du dictionnaire puis d’aller chercher les définitions de tous les mots qui permettent de le définir. Prenons l’exemple du mot « être » dans le dictionnaire Robert :

  • « Etre : avoir une réalité » ;
  • « Réalité : caractéristique de ce qui est réel » ;
  • « Réel : qui existe en fait » ;
  • « Exister : avoir une réalité (cf. être) ».

On voit que la définition finit par nous renvoyer vers des termes, « réalité » et « être », dont on cherchait précisément la définition. Pour éviter cela, deux possibilités s’offrent à nous.

La première solution, que propose Pascal, est de fixer un terme à la recherche des définitions. Il ne faut, selon lui, pas définir les notions aussi évidentes que l’être, le temps, l’espace, le mouvement, le nombre, l’égalité. On évite ainsi toute régression à l’infini.

La seconde solution, adoptée par de nombreux mathématiciens depuis la fin du XIXe siècle, à la suite de David Hilbert (1862-1943), est plus radicale : c’est de renoncer à toute définition des objets primitifs — point, droite et plan — et à tout recours à l’intuition au cours de la démonstration. On peut démontrer des propositions mathématiques sans même savoir de quoi on parle. C’est ainsi que, depuis les années 1960, les mathématiciens utilisent parfois des ordinateurs pour vérifier leurs démonstrations, alors même que les ordinateurs ignorent tout de la signification des notions et de l’éventuelle vérité des axiomes qu’ils manipulent.


Conclusion

Tout ce que montre une démonstration est que si l’on accepte certains énoncés élémentaires et que l’on accorde sa confiance à certaines règles du raisonnement naturel, alors on doit accepter également les énoncés que ces règles permettent de dériver. La démonstration ne permet pas de dire « cet énoncé est vrai absolument », mais seulement : « si l’on accepte telles hypothèses et cet ensemble de règles logiques, alors cet énoncé est vrai ».

Si notre interlocuteur refuse l’une de nos hypothèses ou bien s’il met en doute l’une des règles logiques sur lesquelles s’appuie notre démonstration, il peut remettre en cause le résultat obtenu, mais non la rigueur de la démonstration. La démonstration ne garantit donc pas la vérité des énoncés, mais elle permet de rendre explicites les principes sur lesquels nous nous appuyons et la démarche par laquelle nous justifions nos propos. Elle présente ainsi au moins l’intérêt de clarifier le débat en mettant au jour les sources du désaccord.


Bibliographie

Anthony LONG et David SEDLEY, Les Philosophes hellénistiques, II : Les stoïciens, Paris, Flammarion, 2001 (1987), ch. 35 et 36.
Parallèlement à leur éthique et à leur physique, les stoïciens ont développé une logique, dont Anthony Long et David Sedley traduisent et commentent les principaux textes.

EUCLIDE, Éléments, édité par Bernard Vitrac, Paris, Presses Universitaires de France, 1990.
Jusqu’au XIXe siècle, ce traité de mathématiques a été un modèle de rigueur démonstrative.

Gerhard GENTZEN, Recherches sur la déduction logique, Paris, Presses Universitaires de France, 1955 (1934).
Ce recueil contient un inventaire systématique des règles logiques, classées notamment selon qu’elles servent à introduire un connecteur logique dans une formule ou au contraire à en extraire des informations.

Blaise PASCAL, « De l’esprit géométrique et de l’art de persuader », in Œuvres complètes, Paris, Seuil, 1963, p. 348-359.
Dans ce texte, Pascal décrit les mathématiques comme un modèle de rigueur démonstrative et détermine comment les définitions, axiomes et postulats doivent être choisis.

Baptiste Mélès
baptiste.meles@gmail.com
CNRS